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Chap. 4. Séries numériques
2) On a
N
n=0
u n (a) =
a
0
f (x)
N
n=0
x
n
dx =
a
0
f (x)
1 − x
dx −
a
0
f (x)x
N +1
1 − x
dx .
Comme la fonction x → f (x)/(1 − x) est continue sur [ 0, a ] , il existe une
constante K telle que, pour tout x ∈ [ 0, a ] on ait | f (x)|/(1 − x) K . Alors
a
0
f (x)x
N +1
1 − x
dx
K
a
0
x
N +1 dx
K a
N +2
N + 2
. Il en résulte que la suite
a
0
f (x)x
N +1
1 − x
dx
converge vers 0. Donc la suite
N
n=0
u n (a)
converge vers
a
0
f (x)
1 − x
dx . Ceci signifie que la série de terme général u n (a) converge et que
+∞
n=0
u n (a) =
a
0
f (x)
1 − x
dx .
3.a On a u n = u n (a) +
1
a
f (x)x
n dx .
Si f est continue et si f (1) > 0, il existe alors a ∈ ] 0, 1 [ tel que a < x < 1
implique f (1) − f (x) f (1)/2. Alors f (x) f (1)/2 et
u n u n (a) +
f (1)
2
1
a
x
n dx = u n (a) +
f (1)
2
1 − a
n+1
n + 1
.
3.b La série de terme général u n (a) converge, d’autre part
1 − a
n+1
n + 1
∼
n→+∞
1
n
et la
série de terme général 1/n diverge.
Alors la série de terme général u n (a) +
f (1)
2
1 − a
n+1
n + 1
diverge, et par suite la série
de terme général u n diverge.
Lorsque f (1) < 0, on applique ce qui précède à − f et le résultat subsiste.
4.a La fonction f est continue sur ] 0, 1 [ comme quotient de fonctions continues.
Au voisinage de 0, on a ln(1 − x) = −x + o(x), donc ln(1 − x)/x tend vers −1 et il
en résulte que lim
x→0
f (x) = 1 = f (0) . La fonction f est continue en 0. Par ailleurs,
puisque ln(1 − x) tend vers −∞ lorsque x tend vers 1, on a lim
x→1
f (x) = 0 = f (1) .
La fonction f est continue en 1.
Finalement f est continue sur [ 0, 1 ] .
4.b On a en particulier u n
1−1/n
0
x
n+1
− ln(1 − x)
dx , et puisque la fonction
x → − ln(1 − x) est croissante, on a sur [ 0, 1 − 1/n ] l’inégalité − ln(1 − x) ln n,
d’où
u n
1−1/n
0
x
n+1
− ln(1 − x)
dx
1−1/n
0
x
n+1
ln n
dx =
1
(n + 2) ln n
1 −
1
n
n+2
.
Chap. 4. Séries numériques
2) On a
N
n=0
u n (a) =
a
0
f (x)
N
n=0
x
n
dx =
a
0
f (x)
1 − x
dx −
a
0
f (x)x
N +1
1 − x
dx .
Comme la fonction x → f (x)/(1 − x) est continue sur [ 0, a ] , il existe une
constante K telle que, pour tout x ∈ [ 0, a ] on ait | f (x)|/(1 − x) K . Alors
a
0
f (x)x
N +1
1 − x
dx
K
a
0
x
N +1 dx
K a
N +2
N + 2
. Il en résulte que la suite
a
0
f (x)x
N +1
1 − x
dx
converge vers 0. Donc la suite
N
n=0
u n (a)
converge vers
a
0
f (x)
1 − x
dx . Ceci signifie que la série de terme général u n (a) converge et que
+∞
n=0
u n (a) =
a
0
f (x)
1 − x
dx .
3.a On a u n = u n (a) +
1
a
f (x)x
n dx .
Si f est continue et si f (1) > 0, il existe alors a ∈ ] 0, 1 [ tel que a < x < 1
implique f (1) − f (x) f (1)/2. Alors f (x) f (1)/2 et
u n u n (a) +
f (1)
2
1
a
x
n dx = u n (a) +
f (1)
2
1 − a
n+1
n + 1
.
3.b La série de terme général u n (a) converge, d’autre part
1 − a
n+1
n + 1
∼
n→+∞
1
n
et la
série de terme général 1/n diverge.
Alors la série de terme général u n (a) +
f (1)
2
1 − a
n+1
n + 1
diverge, et par suite la série
de terme général u n diverge.
Lorsque f (1) < 0, on applique ce qui précède à − f et le résultat subsiste.
4.a La fonction f est continue sur ] 0, 1 [ comme quotient de fonctions continues.
Au voisinage de 0, on a ln(1 − x) = −x + o(x), donc ln(1 − x)/x tend vers −1 et il
en résulte que lim
x→0
f (x) = 1 = f (0) . La fonction f est continue en 0. Par ailleurs,
puisque ln(1 − x) tend vers −∞ lorsque x tend vers 1, on a lim
x→1
f (x) = 0 = f (1) .
La fonction f est continue en 1.
Finalement f est continue sur [ 0, 1 ] .
4.b On a en particulier u n
1−1/n
0
x
n+1
− ln(1 − x)
dx , et puisque la fonction
x → − ln(1 − x) est croissante, on a sur [ 0, 1 − 1/n ] l’inégalité − ln(1 − x) ln n,
d’où
u n
1−1/n
0
x
n+1
− ln(1 − x)
dx
1−1/n
0
x
n+1
ln n
dx =
1
(n + 2) ln n
1 −
1
n
n+2
.