4.2 Exercices d’entraînement 81
1) On écrit u n = a ln n + b
ln n + ln
1 +
1
n
+ c
ln n + ln
1 +
2
n
, puis en
utilisant le développement limité au voisinage de 0 de u → ln(1 + u),
u n = (a + b + c) ln n + b
1
n
−
1
2n 2 + o
1
n 2
+ c
2
n
−
2
n 2 + o
1
n 2
= (a + b + c) ln n +
b + 2c
n
−
b + 4c
2n 2 + o
1
n 2
.
2) Si a + b + c n’est pas nul, alors u n ∼
n→+∞
(a + b + c) ln n et la série de terme général
u n diverge grossièrement.
Si a + b + c = 0 et b + 2c n’est pas nul, alors u n ∼
n→+∞
(b + 2c)/n et la série de terme
général u n diverge par comparaison à la série harmonique.
Si a + b + c = b + 2c = 0, alors u n ∼
n→+∞
−(b + 4c)/(2n
2 ) et la série de terme général
u n converge par comparaison à une série de Riemann.
3) La série de terme général u n converge si et seulement si a + b + c = b + 2c = 0
c’est-à-dire c = a et b = −2a. Lorsque ces conditions sont vérifiées, on a alors
u n = a(ln n − 2 ln(n + 1) + ln(n + 2)) = a
ln
n
n + 1
− ln
n + 1
n + 2
,
et il apparaît une série télescopique, donc
+∞
n=1
u n = a
ln
1
2
− lim
n→+∞
ln
n
n + 1
= −a ln 2 .
Exercice 4.27
Procédé de sommation d’Euler. Centrale PC 2006
Soit p ∈ N
∗ . Calculer
+∞
n=1
u n où u n =
1
n(n + 1) · · · (n + p)
.
Indication de la rédaction : on pourra écrire pu n sous la forme v n − v n+1 .
Lorsque n 1, on peut écrire
pu n =
(n + p) − n
n(n + 1) · · · (n + p)
=
1
n(n + 1) · · · (n + p − 1)
−
1
(n + 1) · · · (n + p)
.
Donc en posant v n =
1
n(n + 1) · · · (n + p − 1)
, on a pu n = v n − v n+1 , et
puisque la suite (v n ) n1 converge vers 0, il résulte du procédé télescopique que
+∞
n=1
p
n(n + 1) · · · (n + p)
= v 1 =
1
p!
. Donc
+∞
n=1
1
n(n + 1) · · · (n + p)
=
1
p p!
.
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