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Chap. 4. Séries numériques
1) Il y a diverses façons de montrer que la suite (u n ) converge vers 0. Voici une
méthode utilisant le théorème de convergence dominée, théorème qui sera vu dans
un chapitre ultérieur.
Lorsque n ∈ N soit f n la fonction définie sur [ 0, p/2 ] par f n (x) = sin
n x. La suite
( f n ) converge simplement vers 0 sur l’intervalle [ 0, p/2 [ , et les fonctions | f n | sont
majorées par la fonction constante 1, qui est intégrable sur [ 0, p/2 [ . Il résulte alors
du théorème de convergence dominée que la suite (u n ) converge vers 0.
2) Comme pour tout n 0, et tout x ∈ ] 0, p/2 [ on a 0 sin x 1 , on en déduit
que sin
n x sin
n+1 x, et, en intégrant, que la suite (u n ) est décroissante. La série
de terme général (−1)
n u n est donc une série alternée et il résulte alors du critère de
Leibniz que cette série converge.
3) En calculant la somme partielle, on obtient
S n =
n
k=0
(−1)
k u k =
p/2
0
1 − (− sin x)
n+1
1 + sin x
dx . Mais, pour tout x ∈ [ 0, p/2 ] ,
on a
(− sin x)
n+1
1 + sin x
sin
n+1 x , et donc
p/2
0
(− sin x)
n+1
1 + sin x
dx
u n+1 . Il en
résulte que lim
n→+∞
p/2
0
(− sin x)
n+1
1 + sin x
dx = 0 . Alors la suite (S n ) converge vers
S =
p/2
0
1
1 + sin x
dx .
4) En effectuant le changement de variable u = p/2 − x, on obtient
S =
p/2
0
1
1 + cos x
dx =
p/2
0
1
2 cos 2 x
2
dx =
tan
x
2
p/2
0
= 1 .
5) En remarquant que, lorsque x ∈ [ 0, p/2 ] on a 0 cos x 1, on obtient
u n
p/2
0
sin
n x cos x dx =
sin
n+1 x
n + 1
p/2
0
=
1
n + 1
, et la série de terme général u n
diverge par comparaison à la série harmonique.
Exercice 4.26
Mines - Ponts PC 2005 , CCP PC 2006
Soit (a, b, c) ∈ R
3 . On définit une suite (u n ) n1 en posant
u n = a ln(n) + b ln(n + 1) + c ln(n + 2) .
1) Etablir que u n = (a + b + c) ln n +
b + 2c
n
−
b + 4c
2n 2 + o
1
n 2
.
2) Pour quelles valeurs de (a, b, c) la série de terme général u n converge-t-elle ?
3) Lorsque la série converge, calculer sa somme
+∞
n=1
u n .
Chap. 4. Séries numériques
1) Il y a diverses façons de montrer que la suite (u n ) converge vers 0. Voici une
méthode utilisant le théorème de convergence dominée, théorème qui sera vu dans
un chapitre ultérieur.
Lorsque n ∈ N soit f n la fonction définie sur [ 0, p/2 ] par f n (x) = sin
n x. La suite
( f n ) converge simplement vers 0 sur l’intervalle [ 0, p/2 [ , et les fonctions | f n | sont
majorées par la fonction constante 1, qui est intégrable sur [ 0, p/2 [ . Il résulte alors
du théorème de convergence dominée que la suite (u n ) converge vers 0.
2) Comme pour tout n 0, et tout x ∈ ] 0, p/2 [ on a 0 sin x 1 , on en déduit
que sin
n x sin
n+1 x, et, en intégrant, que la suite (u n ) est décroissante. La série
de terme général (−1)
n u n est donc une série alternée et il résulte alors du critère de
Leibniz que cette série converge.
3) En calculant la somme partielle, on obtient
S n =
n
k=0
(−1)
k u k =
p/2
0
1 − (− sin x)
n+1
1 + sin x
dx . Mais, pour tout x ∈ [ 0, p/2 ] ,
on a
(− sin x)
n+1
1 + sin x
sin
n+1 x , et donc
p/2
0
(− sin x)
n+1
1 + sin x
dx
u n+1 . Il en
résulte que lim
n→+∞
p/2
0
(− sin x)
n+1
1 + sin x
dx = 0 . Alors la suite (S n ) converge vers
S =
p/2
0
1
1 + sin x
dx .
4) En effectuant le changement de variable u = p/2 − x, on obtient
S =
p/2
0
1
1 + cos x
dx =
p/2
0
1
2 cos 2 x
2
dx =
tan
x
2
p/2
0
= 1 .
5) En remarquant que, lorsque x ∈ [ 0, p/2 ] on a 0 cos x 1, on obtient
u n
p/2
0
sin
n x cos x dx =
sin
n+1 x
n + 1
p/2
0
=
1
n + 1
, et la série de terme général u n
diverge par comparaison à la série harmonique.
Exercice 4.26
Mines - Ponts PC 2005 , CCP PC 2006
Soit (a, b, c) ∈ R
3 . On définit une suite (u n ) n1 en posant
u n = a ln(n) + b ln(n + 1) + c ln(n + 2) .
1) Etablir que u n = (a + b + c) ln n +
b + 2c
n
−
b + 4c
2n 2 + o
1
n 2
.
2) Pour quelles valeurs de (a, b, c) la série de terme général u n converge-t-elle ?
3) Lorsque la série converge, calculer sa somme
+∞
n=1
u n .