4.2 Exercices d’entraînement 79
2.a Pour n 2 on a u n =
(−1)
n
n a + (−1) n =
(−1)
n
n a
1
1 +
(−1) n
n a
, et la suite ((−1)
n /n
a )
converge vers 0. Il en résulte que u n ∼
n→+∞
(−1)
n
n a . Alors |u n | ∼
n→+∞
1
n a , et par
comparaison à une série de Riemann, on en déduit que la série de terme général |u n |
converge, c’est-à-dire que la série de terme général u n converge absolument, si et
seulement si a > 1.
2.b Etudions le cas où 0 < a 1. On a u n − v n = −
1
n a (n a + (−1) n )
∼
n→+∞
−
1
n 2a .
La série de terme général v n converge d’après le critère de Leibniz. Par ailleurs la
série de terme général u n −v n converge si et seulement si 2a > 1 c’est-à-dire a > 1/2
par comparaison à une série de Riemann. On a donc les deux cas suivants :
– lorsque 1/2 < a 1, la série de terme général u n est la somme de deux séries
convergentes. Elle converge donc mais n’est pas absolument convergente.
– lorsque 0 < a 1/2, la série de terme général u n est la somme d’une série
convergente et d’une série divergente : elle diverge donc.
En résumé :
– lorsque a > 1 la série converge absolument
– lorsque 1/2 < a 1 la série est semi-convergente
– lorsque a 1/2 la série diverge.
Exercice 4.25
CCP PC et PSI 2006
Pour n ∈ N, on pose u n =
p/2
0
sin
n x dx .
1) Montrer que la suite (u n ) n0 converge vers 0.
2) Montrer que la série numérique de terme général (−1)
n u n converge.
3) Etablir que
+∞
n=0
(−1)
n u n =
p/2
0
dx
1 + sin x
.
4) Calculer
p/2
0
dx
1 + sin x
.
Indication de la rédaction : on pourra commencer par établir que
p/2
0
dx
1 + sin x
=
p/2
0
dx
1 + cos x
.
5) Montrer que la série de terme général u n diverge.
Indication de la rédaction : on pourra établir que u n
1
n + 1
.
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