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Chap. 4. Séries numériques
1) On a u n + u n+2 =
p/4
0
(tan
n+2 t + tan
n t) dt =
p/4
0
tan
n t(1 + tan
2 t) dt .
Puisque t → 1 + tan
2 t est la dérivée de t → tan t, on en déduit que
u n + u n+2 =
tan
n+1 t
n + 1
p/4
0
=
1
n + 1
.
2) Pour x ∈ [ 0, p/4 ] , on a 0 tan t 1 , et donc 0 tan
n+1 t tan
n t . Alors,
si n 0, on obtient en intégrant, 0 u n+1 u n , et la suite (u n ) est décroissante
positive. On en déduit que 2u n+2 u n+2 + u n =
1
n + 1
2u n . Donc, pour n 2,
on a l’encadrement
1
2(n + 1)
u n
1
2(n − 1)
, d’où
n
n + 1
2nu n
n
n − 1
Le théorème d’encadrement montre alors que 2nu n tend vers 1 c’est-à-dire que
u n ∼
n→+∞
1
2n
.
3) Il résulte de ce qui précède que la suite (u n ) converge vers 0. De plus, elle est
décroissante, alors d’après le critère de Leibniz, la série de terme général (−1)
n u n
est convergente.
4) On a
u n
n a ∼
n→+∞
1
2n a+1 . Alors par comparaison à une série de Riemann, la série
de terme général u n /n
a converge si et seulement si a + 1 > 1, c’est-à-dire a > 0.
Exercice 4.24
TPE PC 2006 , ENSEA PC 2006
On se propose d’étudier la convergence et la convergence absolue de la série de
terme général u n =
(−1)
n
n a + (−1) n (a = 0).
1) Montrer que la série diverge si a < 0.
2) On suppose a > 0.
2.a Montrer que u n ∼
n→+∞
v n = (−1)
n /n
a , et en déduire pour quelles valeurs
de a la série converge absolument.
2.b Etudier la nature de la série de terme général u n − v n , et en déduire pour
quelles valeurs de a la série converge.
1) Pour n 2 on a u n =
1
1 + (−1) n n a , et, lorsque a < 0, la suite ((−1)
n n
a ) converge
vers 0. Il en résulte que la suite (u n ) converge vers 1. Donc la série de terme général
u n diverge grossièrement.