4.2 Exercices d’entraînement 77
La suite des sommes de Riemann
1
n
n
k=1
k
n
b
converge vers
1
0
x
b dx =
1
b + 1
et on obtient l’équivalent
n
k=1
k
b
∼
n→+∞
n
b+1
b + 1
. Alors a n ∼
n→+∞
b + 1
n b+1 et la série de
terme général a n converge par comparaison à une série de Riemann.
Exercice 4.22
Centrale PC 2006
Nature de la série de terme général u n = tan
np
4n + 1
− cos(1/n).
On cherche un équivalent de u n en effectuant un développement limité. On a
np
4n + 1
=
p
4
1 +
1
4n
=
p
4
1 −
1
4n
+ o
1
n
=
p
4
−
p
16n
+ o
1
n
.
Donc en utilisant la formule tan(a − b) =
tan a − tan b
1 + tan a tan b
, on obtient
tan
np
4n + 1
=
1 − tan
p
16n + o
1
n
1 + tan
p
16n + o
1
n
.
Puis en utilisant le développement limité au voisinage de 0 : tan u = u + o(u), on
obtient
tan
np
4n + 1
=
1 −
p
16n + o
1
n
1 +
p
16n + o
1
n
=
1 −
p
16n
2
+ o
1
n
= 1 −
p
8n
+ o
1
n
.
Comme on a également cos(1/n) = 1 + o(1/n), on en déduit
u n = −
p
8n
+ o
1
n
∼
n→+∞
−
p
8n
,
et la série de terme général u n diverge, par comparaison à la série harmonique.
Exercice 4.23
Centrale PC 2007, Saint-Cyr PSI 2005, CCP PC 2005
Pour tout entier naturel n, on pose u n =
p/4
0
tan
n t dt .
1) Trouver une relation de récurrence entre u n et u n+2 .
2) Trouver un équivalent de u n lorsque n tend vers l’infini.
3) Donner la nature de la série de terme général (−1)
n u n .
4) Discuter, suivant a ∈ R, la nature de la série de terme général u n /n
a .
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