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Chap. 4. Séries numériques
Exercice 4.20
CCP PC 2007
1) Montrer que la série de terme général v n = sin(p(2 −
√
3)
n ) converge.
2) Montrer que, pour tout n ∈ N, le nombre a n = (2 +
√
3)
n + (2 −
√
3)
n est
entier.
3) En déduire la nature de la série de terme général u n = sin(p(2 +
√
3)
n ) .
1) On a 0 2 −
√
3 = (2 +
√
3)
−1 < 1. La série géométrique de raison 2 −
√
3
est donc convergente. Alors, puisque, pour tout u réel on a | sin u| |u| on en déduit
que |v n | p(2 −
√
3)
n et la série de terme général v n converge absolument.
2) On montre que a n est entier en utilisant la formule du binôme. En effet,
a n =
n
k=0
n
k
√
3
k
2
n−k +
n
k=0
n
k
(−
√
3)
k 2
n−k =
n
k=0
n
k
√
3
k
(1 + (−1)
k )2
n−k .
Dans cette somme ne restent que les termes pour lesquels k est pair. Donc, si l’on
pose k = 2 p, on obtient alors a n =
E(n/2)
p=0
n
2 p
3
p 2
n−2 p+1 qui est un nombre entier.
3) On a alors |u n | = | sin(pa n − p(2 −
√
3)
n )| = |v n | et la série de terme général u n
converge absolument.
Exercice 4.21
CCP PC 2006
Soit b ∈ R
∗ . Pour tout n ∈ N
∗ on pose a n =
1
n
k=1
k
b
. Nature de la série de terme
général a n .
Indication de la rédaction : montrer que la série de terme général a n diverge si
b < 0 et converge si b > 0.
Si b < 0, pour tout k 1, on a alors k
b
1, donc
n
k=1
k
b
n, et il en résulte
que a n 1/n. La série de terme général a n diverge donc, par comparaison à la série
harmonique.
Si b > 0, on fait apparaître une somme de Riemann, en écrivant
n
k=1
k
b = n
b+1 1
n
n
k=1
k
n
b
.