4.2 Exercices d’entraînement 75
Exercice 4.18
Etudier si la série de terme général u n = ln
1 +
(−1)
n
√
n
converge.
Puisque la suite ((−1)
n /
√
n) converge vers 0, on peut utiliser le développement limité
au voisinage de 0 de la fonction x → ln(1+x). On a donc u n =
(−1)
n
√
n
−
1
2n
+o
1
n
.
La série de terme général (−1)
n /
√
n converge d’après le critère de Leibniz. D’autre
part
1
2n
+ o
1
n
∼
n→+∞
1
2n
, et la série de terme général
1
2n
+ o
1
n
diverge par
comparaison à la série harmonique. Il en résulte que la série de terme général u n
diverge, et ceci bien que u n ∼
n→+∞
(−1)
n /
√
n.
On a donc l’exemple de deux séries dont les termes généraux sont équivalents mais
qui ne sont pas de même nature.
4.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 4.19
CCP PC 2006
Pour tout n ∈ N
∗ on pose u n =
sin
1
n(n+1)
cos
1
n cos
1
n+1
.
1) Montrer que la série de terme général u n converge.
2) Calculer
+∞
n=1
u n . On rappelle que
1
n(n + 1)
=
1
n
−
1
n + 1
.
1) Puisque l’on a sin u ∼
u→0
u et cos u ∼
u→0
1, on obtient
u n ∼
n→+∞
1
n(n + 1)
∼
n→+∞
1
n 2
et la série converge par comparaison à une série de Riemann.
2) Pour n ∈ N
∗ , on a
sin
1
n(n + 1)
= sin
1
n
−
1
n + 1
= sin
1
n
cos
1
n + 1
− cos
1
n
sin
1
n + 1
,
d’où l’on déduit u n = tan
1
n
− tan
1
n + 1
.
La série de terme général u n est donc une série télescopique, et puisque la suite
tan
1
n
converge vers 0, on obtient
+∞
n=1
u n = tan 1 .
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