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Chap. 4. Séries numériques
Critère de Leibniz ou critère spécial des séries alternées
Soit (a n ) nn 0 une suite décroissante qui converge vers 0. Alors la série alternée de terme général (−1)
n a n converge. De plus
+∞
k=n+1
(−1)
k a k
a n+1 , et
+∞
k=n+1
(−1)
k a k est du signe de (−1)
n+1 .
La série harmonique alternée de terme général (−1)
n /n est l’exemple d’une série
qui converge d’après le critère de Leibniz, mais qui ne converge pas absolument.
Attention : On ne peut pas utiliser les équivalents pour étudier des séries dont le
terme général n’est pas de signe constant. On privilégiera dans ce cas les développements asymptotiques. (Voir ex. 4.18).
Exercice 4.16
Etudier la convergence et la convergence absolue de la série de terme général
u n =
(−1)
n
n
Arctan
1
n
.
Pour tout n 1, on a |u n | =
1
n
Arctan
1
n
. Puisque l’on a Arctan u ∼
u→0
u , on en
déduit que |u n | ∼
n→+∞
1/n
2 . Comme la série de Riemann de terme général 1/n
2
converge, il en résulte que la série de terme général |u n | converge, c’est-à-dire que la
série de terme général u n converge absolument. Donc elle converge.
Exercice 4.17
CCP PC 2005
Etudier la convergence et la convergence absolue de la série de terme général
u n =
(−1)
n
n − ln n
La fonction, f définie sur [ 1, +∞ [ par f (x) =
1
x − ln x
est dérivable et admet
comme dérivée f
(x) =
1 − x
x(x − ln x) 2 . La dérivée étant négative, il en résulte que f
est décroissante. D’autre part |u n | =
1
n
1
1 −
ln n
n
∼
n→+∞
1
n
.
Alors la série de terme général |u n | diverge par comparaison à la série harmonique.
Mais la suite (|u n |) n1 est une suite décroissante qui converge vers 0. Donc la série
de terme général u n converge d’après le critère de Leibniz.