4.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 73
a < 1 Si n 2, on écrit
1
n a (ln n) b =
1
n
n
1−a
(ln n) b , et lim
n→+∞
n
1−a /(ln n)
b = +∞ .
Donc, pour n assez grand
n
1−a
(ln n) b 1 , et
1
n a (ln n) b
1
n
. La série diverge par
comparaison à la série harmonique.
a > 1 Soit a
tel que a > a
> 1. Si n 2, on écrit
1
n a (ln n) b =
1
n a
1
n a−a (ln n) b .
Mais lim
n→+∞
n
a−a
(ln n)
b = +∞ . Donc, pour n assez grand
1
n a−a (ln n) b 1 , et
1
n a (ln n) b
1
n a . La série converge par comparaison à une série de Riemann.
Remarque
Ces résultats sont utilisés dans beaucoup d’exercices d’oraux. Nous vous
conseillons vivement de savoir les redémontrer.
Application : En majorant chaque terme du produit n! = 1 × 2 × · · · × n par n, on
a, pour n 1, l’inégalité n! n
n , et donc ln n! n ln n. Finalement v n
1
n ln n
.
Comme la série de terme général 1/(n ln n) est une série de Bertrand divergente
(a = b = 1), il en résulte que la série de terme général v n diverge.
La suite ((ln n)
2 /n) converge vers 0. Comme on a l’équivalent e
u
− 1 ∼
u→0
u, on a
donc w n = e
(ln n)
2 /n
− 1 ∼
n→+∞
(ln n)
2
n
. On obtient une série de Bertrand divergente
(a = 1, b = −2), il en résulte que la série de terme général w n diverge.
4.1.4 Séries à termes réels quelconques ou à termes complexes
Ce qu’il faut savoir
• Soit (u n ) nn 0 une suite numérique. On dira que la série de terme général u n
converge absolument lorsque la série de terme général |u n | est convergente.
• Si la série de terme général u n converge absolument, alors elle converge. De
plus
+∞
n=n 0
u n
+∞
n=n 0
|u n | .
La série de terme général |u n | est une série à termes positifs et les résultats du
paragraphe précédent peuvent donc s’appliquer.
• Une série qui converge sans converger absolument, est dite semi-convergente.
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