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Chap. 4. Séries numériques
Exercice 4.14
Mines - Ponts PC 2005
Etudier la suite u n =
n
k=2
1
k ln k
− ln(ln n) .
La fonction f définie sur [ 2, +∞ [ par f (x) =
1
x ln x
, est continue décroissante
positive et la série de terme général f (n) −
n
n−1
f (t)dt converge. En calculant la
somme partielle S n de rang n de cette série, on obtient
S n =
n
k=3
f (k) −
k
k−1
f (t)dt
=
n
k=2
f (k) − f (2) −
n
2
f (t)dt
=
n
k=2
f (k) − f (2) − ln ln n + ln ln 2 .
Comme la suite (S n ) n3 converge, on en déduit que la suite
n
k=2
f (k) − ln ln n
n3
converge également.
Exercice 4.15
Séries de Bertrand
Etudier la série de terme général u n =
1
n a (ln n) b (a, b ∈ R) en comparant à une
série de Riemann lorsque a = 1 et à une intégrale lorsque a = 1.
Application : étudier les séries de termes généraux v n =
1
ln n!
puis w n = n
ln n
n −1.
a = 1 La fonction définie sur [ 2, +∞ [ par f (x) =
1
x(ln x) b est dérivable et l’on
obtient f
(x) = −
ln x + b
x 2 (ln x) b+1 . Donc f
est négative sur [ e
−b , +∞ [ ∩ [ 2, +∞ [ et
f est une fonction décroissante positive sur un intervalle de la forme [ A, +∞ [ . On
obtient facilement une primitive F de f :
F(x) =
(ln x)
1−b
1 − b
si b = 1 et F(x) = ln(ln x) si b = 1 .
Donc on constate que F possède une limite finie en +∞ si et seulement si b > 1,
et le critère de comparaison à une intégrale montre que la série de terme général
1/(n(ln n)
b ) converge si et seulement si b > 1.