4.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 71
Remarque
On pourrait aussi utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour majorer les sommes
partielles de la série.
L’exercice suivant utilise la formule de Stirling : n! ∼
n→+∞
n
e
n √
2np .
Exercice 4.13
Règle de d’Alembert. CCP PC 2006
Etudier la nature de la série de terme général u n =
n!
n n a
n (a > 0).
Pour tout n ∈ N
∗ , on a
u n+1
u n
=
(n + 1)!a
n+1
(n + 1) n+1 a n
n
n
n!
= a
n
n + 1
n
= a
1 +
1
n
−n
.
Par un calcul de développement limité classique (voir ex. 4.7), on obtient que la
suite (u n+1 /u n ) n1 converge vers ae
−1 , donc il résulte de la règle de d’Alembert
que la série de terme général u n converge si a/e < 1, donc si a < e, et diverge si
a/e > 1, donc si a > e. Lorsque a = e, on obtient en utilisant la formule de Stirling
u n ∼
n→+∞
n
e
n √
2np
e
n
n n =
√
2np et la série diverge grossièrement.
Ce qu’il faut savoir
Comparaison à une intégrale
Soit f une fonction continue par morceaux décroissante et positive sur un intervalle de la forme [ A, +∞ [ . Alors la série de terme général
n
n−1
f (t) dt − f (n)
converge.
Il en résulte que les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) la série de terme général f (n) converge
ii) la série de terme général
n
n−1
f (t)dt converge
iii) la fonction f est intégrable sur [ A, +∞ [
iv) une primitive F de f sur [ A, +∞ [ admet une limite finie en +∞.
Remarque
De nombreux exercices reposent sur la comparaison d’une série et d’une intégrale. Lorsqu’une fonction est décroissante sur [ n − 1, n ] , où n ∈ N
∗ , on
pourra utiliser les inégalités f (n)
n
n−1
f (x) dx f (n − 1) , mais beaucoup
d’autres situations sont possibles.
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