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Chap. 4. Séries numériques
série de Riemann convergente, il en résulte que la série de terme général u n converge
également.
Remarque
On retiendra que pour comparer à une série de Riemann, il peut être utile de chercher la limite de suites de la forme (n
a u n ), (voir également 4.15).
Exercice 4.11
Comparaison aux séries de Riemann Centrale PC 2006
Nature de la série de terme général v n = Arccos(1 − 1/n
a ) (a > 0).
Indication de la rédaction : utiliser un développement limité de cos v n .
La suite (v n ) n1 est une suite positive qui converge vers 0 et on a cos v n = 1 − 1/n
a ,
donc, en utilisant un développement limité au voisinage de 0 de la fonction
u → cos u, on a
1
n a = 1 − cos v n =
v
2
n
2
+ o(v
2
n ) . On en déduit v
2
n
∼
n→+∞
2/n
a
donc v n ∼
n→+∞
√
2/n
a/2 , et la série de terme général v n converge si et seulement si
a/2 > 1 c’est-à-dire a > 2 .
Exercice 4.12
TPE MP 2006
Soit (u n ) n0 une suite positive. On pose v n =
√
u n
n + 1
.
1) Montrer que si
u n converge, alors
v n converge.
2) Montrer que la réciproque est fausse.
1) En utilisant l’inégalité a ·b
1
2
(a
2 + b
2 ) , valable pour tout couple (a, b) ∈ R
2 ,
on obtient, pour tout n ∈ N les inégalités 0 v n
1
2
u n +
1
(n + 1) 2
.
Comme les séries de termes généraux u n et 1/(n + 1)
2 convergent, la série de
terme général
1
2
u n +
1
(n + 1) 2
converge et par suite la série de terme général v n
converge.
2) Si n ∈ N, prenons u n = 1/(n + 1). La série de terme général u n diverge. Par contre
v n ∼
n→+∞
1/n
3/2 et la série de terme général v n converge.