4.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 69
donc u n ∼
n→+∞
p
2
1
n a et l’on obtient une série de Riemann. La série de terme général
u n converge si et seulement si a > 1.
– Si a = 0, alors u n = Arctan 1 = p/4 et la suite (u n ) ne converge pas vers 0. Donc
la série de terme général u n diverge grossièrement
– Si a < 0, alors la suite (n
2a ) n1 converge vers 0. On peut donc utiliser l’équivalent
Arctan u ∼
u→0
u, et donc u n ∼
n→+∞
n
2a
n a =
1
n (−a) et l’on obtient une série de
Riemann. Alors, la série de terme général u n converge si et seulement si −a > 1,
c’est-à-dire a < −1.
Exercice 4.9
Comparaison aux séries de Riemann
Etudier la nature de la série de terme général u n =
n
n
n + 1
− 1
Lorsque n ∈ N
∗ , on peut écrire
u n =
n + 1
n
−1/n
− 1 =
1 +
1
n
−1/n
− 1 = exp
−
1
n
ln
1 +
1
n
− 1 .
En utilisant le développement limité de u → ln(1 + u) au voisinage de 0, on obtient
u n = exp
−
1
n
1
n
+ o
1
n
− 1 = exp
−
1
n 2 + o
1
n 2
− 1 .
Alors, en utilisant le développement limité de u → e
u au voisinage de 0, on en déduit
u n =
1 −
1
n 2 + o
1
n 2
− 1 ∼
n→+∞
−
1
n 2 .
Or 1/n
2 est le terme général d’une série de Riemann convergente. Il en résulte que
la série de terme général u n converge aussi.
Exercice 4.10
Comparaison aux séries de Riemann
Etudier la nature de la série de terme général u n = a
√
n (a > 0).
Lorsque a 1, la suite (u n ) n1 ne converge pas vers 0 et la série de terme général
u n diverge grossièrement.
Lorsque 0 < a < 1, la suite (n
2 u n ) n1 = (n
2 a
√
n ) n1 converge vers 0 (produit d’une
exponentielle et d’une puissance). Donc à partir d’un certain rang, on a n
2 u n 1 ,
d’où l’on déduit 0 u n
1
n 2 , et puisque la série de terme général 1/n
2 est une
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