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Chap. 4. Séries numériques
Remarque
Lorsque = 1 on ne peut pas conclure par cette règle (comme le montre
l’exemple des séries de Riemann).
Exercice 4.7
Comparaison aux séries géométriques
Etudier la nature des séries de terme général u n suivantes :
1) u n =
5
n
− 3
n
3 n + n 4 ; 2) u n =
1
2
+
1
2n
n
.
1) On obtient un équivalent de u n en écrivant, pour n ∈ N, u n =
5
n
3 n
1 −
3
5
n
1 +
n 4
3 n
.
On en déduit que u n ∼
n→+∞
5
3
n
puisque les suites ((3/5)
n ) et (n
4 /3
n ) convergent
vers 0.
Or la série de terme général (5/3)
n est une série géométrique positive de raison
5/3 /
∈ ] −1, 1 [ . Elle diverge donc. Il en résulte que la série de terme général u n
diverge aussi.
2) Pour n ∈ N
∗ , on a u n =
1
2
n
1 +
1
n
n
=
1
2
n
exp
n ln
1 +
1
n
,
et en utilisant le développement limité au voisinage de 0 de u → ln(1 + u), on obtient
1 +
1
n
n
= exp
n
1
n
+ o
1
n
= e
1+o(1)
∼
n→+∞
e , donc u n ∼
n→+∞
e
1
2
n
.
Or la série de terme général e(1/2)
n est une série géométrique positive de raison
1/2 ∈ ] −1, 1 [ . Elle converge donc. Il en résulte que la série de terme général u n
converge aussi.
Exercice 4.8
Comparaison aux séries de Riemann. CCP PC 2005
Pour n ∈ N
∗ , et a ∈ R, on pose u n =
Arctan(n
2a )
n a
.
Selon que a est positif, négatif ou nul, trouver un équivalent simple de u n , puis
étudier la nature de la série de terme général u n .
On peut être tenté de majorer Arctan(n
2a ) par p/2, mais cela ne permet de conclure
par comparaison à la série de Riemann de terme général 1/n
a que si a > 1. On va
étudier les autres cas au moyen des équivalents.
– Si a > 0, alors la suite (n
2a ) n1 admet +∞ comme limite, et, Arctan(n
2a ) ∼
n→+∞
p
2
,