4.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 67
Application : lorsque a n = (3 + (−1)
n )
−n , on a a 2n = 4
−2n et a 2n+1 = 2
−2n−1 . Ainsi
obtient-on deux séries géométriques. D’où
+∞
n=0
a 2n =
1
1 −
1
16
=
16
15
et
+∞
n=0
a 2n+1 =
1
2
1
1 −
1
4
=
2
3
.
Conclusion :
+∞
n=0
a n =
16
15
+
2
3
=
26
15
.
4.1.3 Séries à termes positifs
Ce qu’il faut savoir
Lorsque (u n ) nn 0 est une suite positive, la suite (S n ) nn 0 des sommes partielles
est croissante, et la série de terme général u n converge si et seulement si la suite
(S n ) nn 0 est majorée. Dans ce cas, pour tout entier n n 0 , on a S n
+∞
k=n 0
u k .
Critères de comparaison
• Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que, à partir d’un certain rang 0 u n v n ;
– si la série de terme général v n converge, alors la série de terme général u n
converge,
– si la série de terme général u n diverge, alors la série de terme général v n diverge.
• Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que u n ∼
n→+∞
v n et v n soit de signe constant
à partir d’un certain rang. La série de terme général u n et la série de terme général
v n sont de même nature.
• Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que u n = O(v n ) et u n et v n soient de signe
constant à partir d’un certain rang. Si la série de terme général v n converge, alors
la série de terme général u n converge.
Séries de référence
• La série géométrique.
• Les séries de Riemann : la série de terme général 1/n
a converge si et seulement
si a > 1.
On donne le nom de série harmonique à la série de Riemann de terme général
1/n. La série harmonique diverge.
Règle de d’Alembert
Soit (u n ) une suite de nombres strictement positifs. On suppose que la suite
(u n+1 /u n ) possède une limite finie ou non.
– si 0 < 1 alors la série de terme général u n converge,
– si > 1 alors la série de terme général u n diverge.
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