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Chap. 4. Séries numériques
D’où, en faisant apparaître, si n 3, la partie commune aux trois sommes,
S n =
1
2
⎛
⎝ 1 +
1
2
+
n−1
p=2
1
p + 1
⎞
⎠ −
⎛
⎝ 1
2
+
n−1
p=2
1
p + 1
+
1
n + 1
⎞
⎠
+
1
2
⎛
⎝
n−1
p=2
1
p + 1
+
1
n + 1
+
1
n + 2
⎞
⎠ .
La somme se simplifie, et il reste
S n =
1
2
1 +
1
2
−
1
2
+
1
n + 1
+
1
2
1
n + 1
+
1
n + 2
,
d’où
S n =
1
4
+
1
2
1
n + 2
−
1
n + 1
.
3) Lorsque n tend vers l’infini, la suite (S n ) n1 converge vers 1/4, donc la série de
terme général u n converge et
+∞
n=1
u n =
1
4
.
Exercice 4.6
Séparation des termes de rang pair et de rang impair
Montrer que si la série de terme général a 2n et la série de terme général a 2n+1
convergent alors la série de terme général a n converge et que dans ce cas
+∞
n=0
a n =
+∞
n=0
a 2n +
+∞
n=0
a 2n+1 .
Application : calculer
+∞
n=0
(3 + (−1)
n )
−n .
Soit S n la somme partielle de rang n de la série de terme général a n . Pour tout n ∈ N,
on a
S 2n =
2n
p=0
a p =
n
p=0
a 2 p +
n−1
p=0
a 2 p+1 et S 2n+1 =
2n+1
p=0
a p =
n
p=0
a 2 p +
n
p=0
a 2 p+1 .
Si les deux séries convergent, alors les suites (S 2n ) n0 et (S 2n+1 ) n0 convergent toutes
les deux vers la même limite
+∞
n=0
a 2n +
+∞
n=0
a 2n+1 , donc la suite (S n ) n0 converge vers
la limite commune. On en déduit que
+∞
n=0
a n =
+∞
n=0
a 2n +
+∞
n=0
a 2n+1 .