4.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 65
Application
Pour n 2, on pose a n =
1
√
n − 1
−
1
√
n
. On a alors u n = a n − a n+1 , et on
obtient une série télescopique. Celle-ci converge puisque la suite (a n ) converge vers
0, et l’on a
+∞
n=2
u n = a 2 = 1 − 1/
√
2 .
On peut également faire les calculs en effectuant des changements d’indice de sommation. La maîtrise de ces manipulations sera utile dans l’étude des séries entières.
Exercice 4.5
ENSEA PC 2006
1) Vérifier que, pour tout n ∈ N
∗ , on a
1
n(n + 1)(n + 2)
=
1
2n
−
1
n + 1
+
1
2(n + 2)
.
2) Pour n 1 on pose u n =
1
n(n + 1)(n + 2)
. Soit S n =
n
k=1
u k , la
somme partielle de rang n de la série de terme général u n . Montrer que
S n =
1
4
+
1
2
1
n + 2
−
1
n + 1
.
3) En déduire que la série de terme général u n converge et calculer sa somme
S =
+∞
n=1
u n .
1) La relation se vérifie facilement en réduisant au même dénominateur, ou en
décomposant la fraction rationnelle en éléments simples.
2) On a alors S n =
n
p=1
u p =
1
2
n
p=1
1
p
−
n
p=1
1
p + 1
+
1
2
n
p=1
1
p + 2
.
En effectuant le changement d’indice p → p +1 dans la première somme du membre
de droite et p → p − 1 dans la troisième, on obtient
n
p=1
u p =
1
2
n−1
p=0
1
p + 1
−
n
p=1
1
p + 1
+
1
2
n+1
p=2
1
p + 1
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Application
Pour n 2, on pose a n =
1
√
n − 1
−
1
√
n
. On a alors u n = a n − a n+1 , et on
obtient une série télescopique. Celle-ci converge puisque la suite (a n ) converge vers
0, et l’on a
+∞
n=2
u n = a 2 = 1 − 1/
√
2 .
On peut également faire les calculs en effectuant des changements d’indice de sommation. La maîtrise de ces manipulations sera utile dans l’étude des séries entières.
Exercice 4.5
ENSEA PC 2006
1) Vérifier que, pour tout n ∈ N
∗ , on a
1
n(n + 1)(n + 2)
=
1
2n
−
1
n + 1
+
1
2(n + 2)
.
2) Pour n 1 on pose u n =
1
n(n + 1)(n + 2)
. Soit S n =
n
k=1
u k , la
somme partielle de rang n de la série de terme général u n . Montrer que
S n =
1
4
+
1
2
1
n + 2
−
1
n + 1
.
3) En déduire que la série de terme général u n converge et calculer sa somme
S =
+∞
n=1
u n .
1) La relation se vérifie facilement en réduisant au même dénominateur, ou en
décomposant la fraction rationnelle en éléments simples.
2) On a alors S n =
n
p=1
u p =
1
2
n
p=1
1
p
−
n
p=1
1
p + 1
+
1
2
n
p=1
1
p + 2
.
En effectuant le changement d’indice p → p +1 dans la première somme du membre
de droite et p → p − 1 dans la troisième, on obtient
n
p=1
u p =
1
2
n−1
p=0
1
p + 1
−
n
p=1
1
p + 1
+
1
2
n+1
p=2
1
p + 1
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit