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Chap. 4. Séries numériques
finie alors la suite (S 2n − S n ) convergerait vers 0, ce qui n’est pas possible puisque,
pour tout entier n 1, on a S 2n − S n 1/2 .
Donc la suite (S n ) admet +∞ pour limite et la série de terme général 1/n diverge.
4.1.2 Exemples de sommation de séries
Les résultats concernant les séries géométriques (ex. 4.3) et télescopiques (ex. 4.4)
sont à connaître parfaitement.
Exercice 4.3
Série géométrique
Calculer
+∞
n=0
u n où u n = e
−2n ch n .
On a u n =
1
2
(e
−n + e
−3n ) et, puisque les séries géométriques de raison e
−1 et e
−3
convergent, on obtient
+∞
n=0
u n =
1
2
+∞
n=0
(e
−1 )
n +
+∞
n=0
(e
−3 )
n
=
1
2
1
1 − e −1 +
1
1 − e −3
.
Exercice 4.4
Série télescopique
Soit (v n ) nn 0 une suite numérique. Pour n n 0 , on pose u n = v n −v n+1 . Montrer
que la série de terme général u n converge si et seulement si la suite (v n ) nn 0
converge, et que dans ce cas
+∞
n=n 0
u n = v n 0 − lim
n→+∞
v n .
Application : CCP PC 2006
Pour tout n 2 on pose u n =
1
√
n − 1
−
2
√
n
+
1
√
n + 1
.
Montrer que la série de terme général u n converge et calculer
+∞
n=2
u n .
Pour n n 0 , on calcule la somme partielle S n =
n
k=n 0
(v k − v k+1 ) . Cette somme
vaut S n = v n 0 − v n+1 et la suite (S n ) nn 0 a une limite finie si et seulement si la suite
(v n ) nn 0 a une limite finie. Alors
+∞
n=n 0
u n = lim
n→+∞
S n = v n 0 − lim
n→+∞
v n .