Séries numériques
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4.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
4.1.1 Généralités
Ce qu’il faut savoir
Si la série de terme général u n converge, alors la suite (u n ) converge vers 0. Ainsi,
une série dont le terme général ne converge pas vers 0 est divergente. On dit dans
ce cas que la série diverge grossièrement.
Série géométrique Soit z ∈ C. La série de terme général z
n converge si et seulement si |z| < 1, et dans ce cas
+∞
n=0
z
n =
1
1 − z
.
Exercice 4.1
Divergence grossière
Quelle est la nature de la série de terme général u n =
1
2 + sin n
p
4
?
Pour tout n ∈ N on a u 4n = 1/2. La suite (u 4n ) n0 ne converge pas vers 0, donc la
suite (u n ) n0 ne converge pas vers 0. Il en résulte que la série de terme général u n
diverge.
Exercice 4.2
Série divergente dont le terme général tend vers 0
On note S n =
n
k=1
1
k
. Montrer que S 2n − S n 1/2 et en déduire que la série de
terme général 1/n diverge.
Pour tout n ∈ N
∗ on a S 2n − S n =
2n
k=n+1
1
k
2n
k=n+1
1
2n
=
1
2
.
La suite (S n ) n1 est une suite croissante, puisque, pour tout n ∈ N
∗ , on a
S n+1 − S n = 1/(n + 1) > 0 . Elle admet donc une limite. Si cette limite était