3.3 Exercices d’approfondissement 57
Si une des intégrales A =
b
a
| f (t)|
p dt ou B =
b
a
|g(t)|
p dt est nulle, alors une des
deux fonctions f ou g est la fonction nulle et dans ce cas
b
a
f (t)g(t)dt est nulle
également. L’inégalité est une égalité dans ce cas.
L’inégalité obtenue porte le nom d’inégalité de Hölder.
2) Pour x ∈ [ a, b ] , on a l’inégalité
| f (x) + g(x)|
p
| f (x) + g(x)|
p−1
| f (x)| + | f (x) + g(x)|
p−1
|g(x)| ,
et donc, en posant I =
b
a
| f (x) + g(x)|
p dx, on obtient
I
b
a
| f (x) + g(x)|
p−1
| f (x)| dx +
b
a
| f (x) + g(x)|
p−1
|g(x)| dx .
En appliquant l’inégalité de Hölder à chacune des intégrales du membre de droite,
on obtient
b
a
| f (x)+g(x)|
p−1
| f (x)| dx
b
a
| f (x)|
p dx
1/ p b
a
| f (x) + g(x)|
q( p−1) dx
1/q
,
b
a
| f (x)+g(x)|
p−1
|g(x)| dx
b
a
|g(x)|
p dx
1/ p b
a
| f (x) + g(x)|
q( p−1) dx
1/q
.
En additionnant membre à membre ces deux inégalités et en sachant que ( p−1)q = p,
on en déduit
I
⎛
⎝
b
a
| f (x)|
p dx
1/ p
+
b
a
|g(x)|
p dx
1/ p
⎞
⎠
b
a
| f (x) + g(x)|
p dx
1/q
. (∗)
Lorsque I n’est pas nulle, on divise (*) par
b
a
| f (x) + g(x)|
p dx
1/q
et l’on
obtient l’inégalité désirée. Lorsque I est nulle, l’inégalité est encore vraie de
manière évidente. Cette inégalité porte le nom d’inégalité de Minkowski.
Compléments pour les lecteurs connaissant la notion de norme (voir chapitre
Espaces vectoriels normés) :
1) En fait on vient de montrer que l’application définie sur C
0 ( [ a, b ] , C), qui à
f associe f p =
b
a
| f (x)|
p dx
1/ p
vérifie l’inégalité triangulaire. De plus,
pour tout nombre réel l et tout f ∈ C
0 ( [ a, b ] , C) on a de manière évidente
l f p = |l| | f p , et enfin il résulte des propriétés de l’intégrale des fonctions
continues positives que f p = 0 si seulement si f est la fonction nulle. Donc . p
est une norme sur C
0 ( [ a, b ] , C).
2) On peut montrer que deux quelconques de ces normes sont comparables, mais ne
sont pas équivalentes.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit