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Chap. 3. Intégration sur un segment
• Soit ( p 1 , p 2 ) ∈ ] 1, +∞ [
2 tel que p 1 < p 2 . En utilisant l’inégalité de Hölder, avec
p =
p 2
p 1
et q =
p 2
p 2 − p 1
, on obtient
b
a
| f (x)|
p 1 × 1 dx
b
a
(| f (x)|
p 1 )
p dx
p 1 / p 2 b
a
1
q dx
1/q
,
ce qui donne f p 1 (b − a)
1/ p 1 −1/ p 2 f p 2 . Les deux normes sont comparables.
• Soit f n l’application de [ a, b ] dans C définie par f n (x) =
x − a
b − a
n
. On a
f n
p i
p i =
1
(b − a) np i
b
a
(x − a)
np i dx =
1
(b − a) np i
(x − a)
np i +1
np i + 1
b
a
=
b − a
np i + 1
.
Alors
f n p 1
f n p 2
=
(np 2 + 1)
1/ p 2
(np 1 + 1) 1/ p 1
(b − a)
1/ p 1 −1/ p 2
∼
n→+∞
n
b − a
1/ p 2 −1/ p 1 p
1/ p 2
2
p
1/ p 1
1
, et
cette expression tend vers 0 lorsque n tend vers +∞. Il ne peut donc pas exister de constante A telle que, pour toute fonction f ∈ C
0 ( [ a, b ] , C), on ait
f p 2 A f p 1 . Les normes . p 1 et . p 2 ne sont donc pas équivalentes.
Exercice 3.18
Centrale PC 2007
Soit f ∈ C
1 ( [ 0, 1 ] , R), avec f (0) = 0.
1) Montrer que
1
0
f (t)
2 dt
1
2
1
0
f
(t)
2 dt .
2) On suppose de plus que f (1) = 0. Améliorer l’inégalité précédente.
1) Sachant que f (0) = 0 et que f est de classe C
1 , on a pour x ∈ [ 0, 1 ] ,
f (x) =
x
0
f
(t) dt . En appliquant l’inégalite de Cauchy-Schwarz, on obtient
f (x)
2 =
x
0
1 × f
(t) dt
2
x
0
dt
x
0
f
(t)
2 dt
= x
x
0
f
(t)
2 dt . (1)
On en déduit :
f (x)
2
x
1
0
f
(t)
2 dt ,
(2)
car
x
0
f
(t)
2 dt
1
0
f
(t)
2 dt puisque la fonction x →
x
0
f
(t)
2 dt est croissante sur [ 0, 1 ] .
En intégrant l’inégalité (2) sur [ 0, 1 ] , on obtient
1
0
f (t)
2 dt
1
2
1
0
f
(t)
2 dt .
2) On suppose que f (0) = f (1) = 0. On applique l’inégalité obtenue dans 1) aux
fonctions g : x → f (x/2) et h : x → f (1 − x/2) qui appartiennent à C
1 ( [ 0, 1 ] , R)