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Chap. 3. Intégration sur un segment
On a d’une part lim
n→+∞
1
n
n
k=1
f
k
n
=
1
0
f (x) dx . D’autre part, on déduit de la
continuité de f sur [ 0, 1 ] , l’existence d’un réel M > 0 tel que M = sup
x∈ [ 0, 1 ]
| f (x)|.
Ainsi 0
1
2
n
k=1
x
n
f
k
n
2
1
2
x
2 M
2
n 2 n =
x
2 M
2
2n
M
2
2n
.
D’où lim
n→+∞
1
2
n
k=1
x
n
f
k
n
2
= 0 , et lim
n→+∞
ln u n (x) = x
1
0
f (t) dt.
On obtient, en vertu de la continuité de la fonction exponentielle,
lim
n→+∞
u n (x) = e
x
1
0
f (t) dt .
Exercice 3.17
Inégalités de Hölder et de Minkowski. Mines-Ponts PSI 2006
Soit ( p, q) ∈ ] 1, +∞ [
2 tel que
1
p
+
1
q
= 1 .
1) Montrer que ∀(a, b) ∈ R
2
+ , on a ab
a
p
p
+
b
q
q
.
2) En déduire que, si f et g sont dans C
0 ( [ a, b ] , C), alors
b
a
f (t)g(t)dt
b
a
| f (t) |
p dt
1/ p b
a
| g(t) |
q dt
1/q
.
3) Montrer que
b
a
| f (t) + g(t)|
p
1/ p
b
a
| f (t)|
p
1/ p
+
b
a
|g(t)|
p
1/ p
.
Remarquons que si 1/ p + 1/q = 1, on a ( p − 1)(q − 1) = 1 et p(q − 1) = q.
1) Cette inégalité est appelée inégalité de Young et a été démontrée dans notre livre
d’Analyse de Première année voir exercice 15.13 chapitre 15 fonctions convexes.
2) Posons A =
b
a
| f (t)|
p dt et B =
b
a
|g(t)|
q dt .
Supposons A et B non nulles. En appliquant l’inégalité de Young à | f (t)|/A
1/ p
et |g(t)|/B
1/q , on obtient
| f (t)g(t)|
A 1/ p B 1/q
| f (t)|
p
p A
+
|g(t)|
q
q B
. En intégrant sur [a, b]
1
A 1/ p B 1/q
b
a
| f (t)g(t)| dt
1
p
+
1
q
= 1 , d’où,
b
a
| f (t)g(t)| dt A
1/ p B
1/q .
Enfin, puisque l’on a toujours l’inégalité
b
a
f (t)g(t) dt
b
a
| f (t)g(t)| dt , on
en déduit
b
a
f (t)g(t) dt
b
a
| f (t)|
p dt
1/ p
×
b
a
|g(t)|
q dt
1/q
.