3.3 Exercices d’approfondissement 55
Alors d’après la formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral, on a
f (x) =
x
0
(x − t)
n
n!
f
(n+1) (t) dt
et, d’après la question 2),
f (x) =
a
(n+1)(n+2)/2
n!
x
0
(x − t)
n f (a
n+1 t) dt .
On en déduit | f (x)|
1
n!
f ∞
x
0
(x − t)
n dt =
x
n+1
n!
f ∞
f ∞
(n + 1)!
.
4) Par passage à la limite lorsque n tend vers l’infini dans l’inégalité précédente, il
vient | f (x)| = 0, et ceci pour tout x ∈ [ 0, 1 ] . Donc f est l’application nulle.
Exercice 3.16
Mines-Ponts PC 2006
Soit f ∈ C
0 ( [ 0, 1 ] , R
+ ) ; pour tout (x, n) ∈ [ 0, 1 ] × N
∗ .
On pose u n (x) =
n
k=1
1 +
x
n
f
k
n
. Déterminer lim
n→+∞
u n (x).
Indication de la rédaction : on pourra utiliser la double inégalité
∀x ∈ [ 0, +∞ [ , x −
x
2
2
ln(1 + x) x .
• Les inégalités proposées en indication peuvent se démontrer de plusieurs manières.
La méthode la plus élémentaire est de considérer les fonctions f et g définies sur
[ 0, +∞ [ par f (x) = x − ln(1 + x) et g(x) = ln(1 + x) − x + x
2 /2. Le calcul des
dérivées montre que les deux fonctions f et g sont croissantes, et comme elles sont
nulles en 0, elles sont positives.
• Pour étudier u n (x), comme f est positive, il est naturel de passer au logarithme.
Soit x ∈ [ 0, 1 ] . On a ln(u n (x)) =
n
k=1
ln
1 +
x
n
f
k
n
.
En appliquant la double inégalité donnée en indication, on a alors pour tout k tel que
1 k n,
x
n
f
k
n
−
1
2
x
n
f
k
n
2
ln
1 +
x
n
f
k
n
x
n
f
k
n
.
En faisant la somme de ces inégalités, on obtient,
x
n
n
k=1
f
k
n
−
1
2
n
k=1
x
n
f
k
n
2
ln u n (x)
x
n
n
k=1
f
k
n
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Alors d’après la formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral, on a
f (x) =
x
0
(x − t)
n
n!
f
(n+1) (t) dt
et, d’après la question 2),
f (x) =
a
(n+1)(n+2)/2
n!
x
0
(x − t)
n f (a
n+1 t) dt .
On en déduit | f (x)|
1
n!
f ∞
x
0
(x − t)
n dt =
x
n+1
n!
f ∞
f ∞
(n + 1)!
.
4) Par passage à la limite lorsque n tend vers l’infini dans l’inégalité précédente, il
vient | f (x)| = 0, et ceci pour tout x ∈ [ 0, 1 ] . Donc f est l’application nulle.
Exercice 3.16
Mines-Ponts PC 2006
Soit f ∈ C
0 ( [ 0, 1 ] , R
+ ) ; pour tout (x, n) ∈ [ 0, 1 ] × N
∗ .
On pose u n (x) =
n
k=1
1 +
x
n
f
k
n
. Déterminer lim
n→+∞
u n (x).
Indication de la rédaction : on pourra utiliser la double inégalité
∀x ∈ [ 0, +∞ [ , x −
x
2
2
ln(1 + x) x .
• Les inégalités proposées en indication peuvent se démontrer de plusieurs manières.
La méthode la plus élémentaire est de considérer les fonctions f et g définies sur
[ 0, +∞ [ par f (x) = x − ln(1 + x) et g(x) = ln(1 + x) − x + x
2 /2. Le calcul des
dérivées montre que les deux fonctions f et g sont croissantes, et comme elles sont
nulles en 0, elles sont positives.
• Pour étudier u n (x), comme f est positive, il est naturel de passer au logarithme.
Soit x ∈ [ 0, 1 ] . On a ln(u n (x)) =
n
k=1
ln
1 +
x
n
f
k
n
.
En appliquant la double inégalité donnée en indication, on a alors pour tout k tel que
1 k n,
x
n
f
k
n
−
1
2
x
n
f
k
n
2
ln
1 +
x
n
f
k
n
x
n
f
k
n
.
En faisant la somme de ces inégalités, on obtient,
x
n
n
k=1
f
k
n
−
1
2
n
k=1
x
n
f
k
n
2
ln u n (x)
x
n
n
k=1
f
k
n
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit