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Chap. 3. Intégration sur un segment
3.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 3.15
CCP PC 2007
Soit f : [ 0, 1 ] → R continue sur [ 0, 1 ] . On suppose qu’il existe a ∈ [ 0, 1 ]
tel que : ∀x ∈ [ 0, 1 ] , f (x) =
ax
0
f (t) dt .
1) On considère une primitive F de f sur [ 0, 1 ] . Exprimer f à l’aide de F. En
déduire que f est de classe C
∞ sur [ 0, 1 ] .
2) Montrer que : ∀n ∈ N , ∃(a n , b n ) ∈ N
2 , ∀x ∈ [ 0, 1 ] f
(n) (x) = a
a n f (a
b n x) .
Exprimer a n et b n en fonction de n.
3) Que vaut f
(n) (0) ?
Montrer que : ∃M ∈ R
+ , ∀x ∈ [ 0, 1 ] , ∀n ∈ N , | f (x)|
M
(n + 1)!
.
4) Montrer que f est nulle sur [ 0, 1 ] .
1) La fonction f est continue sur [ 0, 1 ] donc on peut considérer une primitive F de
f sur [ 0, 1 ] . Alors F est de classe C
1 sur [ 0, 1 ] , et l’on a, pour tout x ∈ [ 0, 1 ] ,
l’égalité (1) f (x) = F(ax) − F(0) . Montrons par récurrence que, pour tout n 0,
la fonction f est de classe C
n . C’est vrai si n = 0. Supposons la propriété vraie au
rang n. Si f est de classe C
n sur [ 0, 1 ] alors F est de classe C
n+1 sur [ 0, 1 ] et la
relation (1) montre que f est alors de classe C
n+1 sur [ 0, 1 ] . La propriété est donc
vraie au rang n + 1. Il en résulte qu’elle est vraie pour tout n ∈ N, donc que f est de
classe C
∞ sur [ 0, 1 ] .
2) On démontre par récurrence l’existence de la suite (a n , b n ) n∈N . On a tout
d’abord a 0 = b 0 = 0. D’autre part en dérivant la relation (1), on obtient, pour tout
x ∈ [ 0, 1 ] , la relation f
(x) = a F
(ax), donc (2) f
(x) = a f (ax) .
Supposons que les nombres a p et b p existent pour 0 p n. Alors, pour
tout x ∈ [ 0, 1 ] , on a f
(n) (x) = a
a n f (a
b n x) , et si l’on dérive on obtient
f
(n+1) (x) = a
a n +b n f
(a
b n x) , puis, en utilisant (2), on en déduit l’égalité
f
(n+1) (x) = a
a n +b n +1 f (a
b n +1 x) .
Donc, en posant a n+1 = a n + b n + 1 et b n+1 = b n + 1, on a, pour tout x ∈ [ 0, 1 ] ,
la relation f
(n+1) (x) = a
a n+1 f (a
b n+1 x) .
La suite (b n ) n0 est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme nul, donc,
pour tout n ∈ N, on a b n = n . Alors a n+1 = a n + n donc a n est la somme des n
premiers entiers et vaut n(n + 1)/2.
3) Pour tout n ∈ N et tout x ∈ [ 0, 1 ] on a donc f
(n) (x) = a
n(n+1)/2 f (a
n x) . En
particulier f
(n) (0) = a
n(n+1)/2 f (0) = 0 .
Chap. 3. Intégration sur un segment
3.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 3.15
CCP PC 2007
Soit f : [ 0, 1 ] → R continue sur [ 0, 1 ] . On suppose qu’il existe a ∈ [ 0, 1 ]
tel que : ∀x ∈ [ 0, 1 ] , f (x) =
ax
0
f (t) dt .
1) On considère une primitive F de f sur [ 0, 1 ] . Exprimer f à l’aide de F. En
déduire que f est de classe C
∞ sur [ 0, 1 ] .
2) Montrer que : ∀n ∈ N , ∃(a n , b n ) ∈ N
2 , ∀x ∈ [ 0, 1 ] f
(n) (x) = a
a n f (a
b n x) .
Exprimer a n et b n en fonction de n.
3) Que vaut f
(n) (0) ?
Montrer que : ∃M ∈ R
+ , ∀x ∈ [ 0, 1 ] , ∀n ∈ N , | f (x)|
M
(n + 1)!
.
4) Montrer que f est nulle sur [ 0, 1 ] .
1) La fonction f est continue sur [ 0, 1 ] donc on peut considérer une primitive F de
f sur [ 0, 1 ] . Alors F est de classe C
1 sur [ 0, 1 ] , et l’on a, pour tout x ∈ [ 0, 1 ] ,
l’égalité (1) f (x) = F(ax) − F(0) . Montrons par récurrence que, pour tout n 0,
la fonction f est de classe C
n . C’est vrai si n = 0. Supposons la propriété vraie au
rang n. Si f est de classe C
n sur [ 0, 1 ] alors F est de classe C
n+1 sur [ 0, 1 ] et la
relation (1) montre que f est alors de classe C
n+1 sur [ 0, 1 ] . La propriété est donc
vraie au rang n + 1. Il en résulte qu’elle est vraie pour tout n ∈ N, donc que f est de
classe C
∞ sur [ 0, 1 ] .
2) On démontre par récurrence l’existence de la suite (a n , b n ) n∈N . On a tout
d’abord a 0 = b 0 = 0. D’autre part en dérivant la relation (1), on obtient, pour tout
x ∈ [ 0, 1 ] , la relation f
(x) = a F
(ax), donc (2) f
(x) = a f (ax) .
Supposons que les nombres a p et b p existent pour 0 p n. Alors, pour
tout x ∈ [ 0, 1 ] , on a f
(n) (x) = a
a n f (a
b n x) , et si l’on dérive on obtient
f
(n+1) (x) = a
a n +b n f
(a
b n x) , puis, en utilisant (2), on en déduit l’égalité
f
(n+1) (x) = a
a n +b n +1 f (a
b n +1 x) .
Donc, en posant a n+1 = a n + b n + 1 et b n+1 = b n + 1, on a, pour tout x ∈ [ 0, 1 ] ,
la relation f
(n+1) (x) = a
a n+1 f (a
b n+1 x) .
La suite (b n ) n0 est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme nul, donc,
pour tout n ∈ N, on a b n = n . Alors a n+1 = a n + n donc a n est la somme des n
premiers entiers et vaut n(n + 1)/2.
3) Pour tout n ∈ N et tout x ∈ [ 0, 1 ] on a donc f
(n) (x) = a
n(n+1)/2 f (a
n x) . En
particulier f
(n) (0) = a
n(n+1)/2 f (0) = 0 .