3.2 Exercices d’entraînement 53
– Soit x ∈ ] 1, +∞ [ . On a pour tout t ∈ [ x, x
2 ]
x
t ln t
t
t ln t
x
2
t ln t
.
(2)
En intégrant (2) sur [ x, x
2 ] (cette fois x x
2 ), on obtient
x ln 2 f (x) x
2 ln 2.
(3)
On déduit alors du théorème d’encadrement que lim
x→1 +
w(x) = ln 2.
Conclusion : la fonction w est prolongeable par continuité au point 1.
4) Montrons que le prolongement f de w est de classe C
1 sur [ 0, +∞ [ .
Il est clair que w est de classe C
1 sur D (elle est même de classe C
∞ ). Comme
lim
x→0 +
w
(x) = 0 et lim
x→1
w
(x) = 1, le théorème de prolongement des fonctions de
classe C
1 entraîne que w admet sur [ 0, 1 ] et sur [ 1, +∞ [ un prolongement de
classe C
1 . On en déduit que f est de classe C
1 sur [ 0, +∞ [ .
5) Comportement asymptotique de w en +∞
• On déduit de (3) que lim
x→+∞
w(x) = +∞.
• Mais (3) ne nous permet pas de déterminer lim
x→+∞
w(x)
x
. On va alors utiliser une
minoration plus adaptée. Soit x > 1. Puisque x < x
2 , on obtient en vertu de la
décroissance de f , pour tout t ∈ [ x, x
2 ] l’encadrement
1
2 ln x
1
ln t
1
ln x
.
Ainsi, en intégrant sur [ x, x
2 ] , on obtient
x
2
− x
2 ln x
w(x). On en déduit
x − 1
2 ln x
w(x)
x
. En particulier, lim
x→+∞
w(x)
x
= +∞. La courbe représentative de
w admet donc une branche parabolique de direction Oy lorsque x tend vers +∞.
• Déterminons maintenant un équivalent de w(x) lorsque x → +∞.
Soit x > 1. En intégrant par parties où l’on dérive 1/ ln t et on intégre 1, on obtient,
en posant R(x) =
x
2
x
dx
(ln t) 2 ,
w(x) =
t
ln t
x
2
x
+ R(x) =
x
2
2 ln x
−
x
ln x
+ R(x) =
x
2
2 ln x
1 −
2
x
+
2 ln x
x 2 R(x)
.
Mais, pour tout x ∈ ] 1, +∞ [ , en vertu de la décroissance de la fonction t →
1
(ln t) 2 ,
on a, 0 R(x)
x
2
− x
(ln x) 2 . D’où 0
2 ln x
x 2 R(x)
2
ln x
1 −
1
x
.
On en déduit alors, en vertu du théorème d’encadrement, lim
x→+∞
2 ln x
x 2 R(x) = 0.
Ainsi lim
x→+∞
1 −
2
x
+
2 ln x
x 2 R(x)
= 1 et donc w(x) ∼
x→+∞
x
2
2 ln x
.
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