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Chap. 3. Intégration sur un segment
5) Déterminer, si elles existent, lim
x→+∞
w(x) et lim
x→+∞
w(x)
x
.
Déterminer un équivalent de w en +∞.
1) Montrons que w est bien définie sur D.
Puisque la fonction f : t → f (t) =
1
ln t
est bien définie et continue sur D, w(x) sera
bien définie pour tout réel x tel que [ x
2 , x ] ⊂ ] 0, 1 [ ou [ x, x
2 ] ⊂ ] 1, +∞ [ .
Or, pour x ∈ ] 0, 1 [ , on a 0 < x
2 < x < 1, donc w est bien définie sur ] 0, 1 [ .
De même, pour x ∈ ] 1, +∞ [ , on a 1 < x < x
2 , donc w est bien définie sur
] 1, +∞ [ .
2) Soit G une primitive de la fonction continue f sur ] 0, 1 [ , on a pour tout
x ∈ ] 0, 1 [ , w(x) = G(x
2 ) − G(x). Ainsi w est une somme de composées de
fonctions dérivables sur ] 0, 1 [ , elle est donc dérivable sur cet intervalle et l’on a
w
(x) = 2xG
(x
2 ) − G
(x) =
2x
ln x 2 −
1
ln x
=
x − 1
ln x
.
On montre de la même façon que w est dérivable sur ] 1, +∞ [ et l’on a
w
(x) = 2x H
(x
2 ) − H
(x) =
2x
ln x 2 −
1
ln x
=
x − 1
ln x
,
où H une primitive de la fonction continue f sur ] 1, +∞ [ .
Conclusion : la fonction w est dérivable sur D et pour tout x ∈ D, w
(x) =
x − 1
ln x
.
3) • Remarquons que w
> 0. La fonction w est donc croissante sur ] 0, 1 [ et sur
] 1, +∞ [ . Par conséquent, elle admet une limite à droite en 0, une limite à gauche
et une limite à droite en 1. Pour que f soit prolongeable par continuité, il faut que la
limite soit finie en 0, et que les limites à gauche et à droite de 1 soient égales.
• Montrons que w est prolongeable par continuité au point 0.
Puisque lim
t→0 +
f (t) = 0, la fonction f est prolongeable par continuité au point 0, il en
résulte que f est bornée sur tout segment ] 0, a ] inclus dans [ 0, 1 [ . On en déduit
alors que pour tout x ∈ ] 0, 1/2 ] on a |w(x)| M(x − x
2 ) où M = sup
t∈ ] 0, 1/2 ]
| f (t)| .
En faisant tendre x vers 0, on obtient lim
x→0 +
w(x) = 0.
Conclusion : la fonction w est prolongeable par continuité à droite en 0.
• Montrons que w est prolongeable par continuité au point 1.
On examine séparément la limite en 1
− et en 1
+ .
– Soit x ∈ ] 0, 1 [ . Comme ln t < 0, on a pour tout t ∈ [ x
2 , x ] ,
x
t ln t
t
t ln t
x
2
t ln t
.
(1)
En intégrant (1) sur [ x
2 , x ] (bien entendu x
2
x), on obtient x
2 ln 2 f (x) x ln 2.
On déduit alors du théorème d’encadrement que lim
x→1 −
w(x) = ln 2.
Chap. 3. Intégration sur un segment
5) Déterminer, si elles existent, lim
x→+∞
w(x) et lim
x→+∞
w(x)
x
.
Déterminer un équivalent de w en +∞.
1) Montrons que w est bien définie sur D.
Puisque la fonction f : t → f (t) =
1
ln t
est bien définie et continue sur D, w(x) sera
bien définie pour tout réel x tel que [ x
2 , x ] ⊂ ] 0, 1 [ ou [ x, x
2 ] ⊂ ] 1, +∞ [ .
Or, pour x ∈ ] 0, 1 [ , on a 0 < x
2 < x < 1, donc w est bien définie sur ] 0, 1 [ .
De même, pour x ∈ ] 1, +∞ [ , on a 1 < x < x
2 , donc w est bien définie sur
] 1, +∞ [ .
2) Soit G une primitive de la fonction continue f sur ] 0, 1 [ , on a pour tout
x ∈ ] 0, 1 [ , w(x) = G(x
2 ) − G(x). Ainsi w est une somme de composées de
fonctions dérivables sur ] 0, 1 [ , elle est donc dérivable sur cet intervalle et l’on a
w
(x) = 2xG
(x
2 ) − G
(x) =
2x
ln x 2 −
1
ln x
=
x − 1
ln x
.
On montre de la même façon que w est dérivable sur ] 1, +∞ [ et l’on a
w
(x) = 2x H
(x
2 ) − H
(x) =
2x
ln x 2 −
1
ln x
=
x − 1
ln x
,
où H une primitive de la fonction continue f sur ] 1, +∞ [ .
Conclusion : la fonction w est dérivable sur D et pour tout x ∈ D, w
(x) =
x − 1
ln x
.
3) • Remarquons que w
> 0. La fonction w est donc croissante sur ] 0, 1 [ et sur
] 1, +∞ [ . Par conséquent, elle admet une limite à droite en 0, une limite à gauche
et une limite à droite en 1. Pour que f soit prolongeable par continuité, il faut que la
limite soit finie en 0, et que les limites à gauche et à droite de 1 soient égales.
• Montrons que w est prolongeable par continuité au point 0.
Puisque lim
t→0 +
f (t) = 0, la fonction f est prolongeable par continuité au point 0, il en
résulte que f est bornée sur tout segment ] 0, a ] inclus dans [ 0, 1 [ . On en déduit
alors que pour tout x ∈ ] 0, 1/2 ] on a |w(x)| M(x − x
2 ) où M = sup
t∈ ] 0, 1/2 ]
| f (t)| .
En faisant tendre x vers 0, on obtient lim
x→0 +
w(x) = 0.
Conclusion : la fonction w est prolongeable par continuité à droite en 0.
• Montrons que w est prolongeable par continuité au point 1.
On examine séparément la limite en 1
− et en 1
+ .
– Soit x ∈ ] 0, 1 [ . Comme ln t < 0, on a pour tout t ∈ [ x
2 , x ] ,
x
t ln t
t
t ln t
x
2
t ln t
.
(1)
En intégrant (1) sur [ x
2 , x ] (bien entendu x
2
x), on obtient x
2 ln 2 f (x) x ln 2.
On déduit alors du théorème d’encadrement que lim
x→1 −
w(x) = ln 2.