3.2 Exercices d’entraînement 51
ce qui donne encore 2x(x − 1)e
−x
2 2xe
−x
2
x−1
0
e
t
2
dt 2x(x − 1)e
−2x+1 .
Il résulte alors du théorème d’encadrement que lim
x→+∞
2xe
−x
2
x−1
0
e
t
2
dt
= 0 .
3.b Soit x > 1. Sachant que pour tout t ∈ [ x − 1, x ] on a
1
x
1
t
1
x − 1
, on a
alors
1
2x
x
x−1
2te
t
2
dt
x
x−1
2te
t
2 ×
1
2t
dt
1
2(x − 1)
x
x−1
2te
t
2
dt ,
c’est-à-dire,
1
2x
(e
x
2 − e
(x−1)
2
)
x
x−1
e
t
2
dt
1
2(x − 1)
(e
x
2 − e
(x−1)
2
) .
Ainsi, en multipliant par 2xe
−x
2
,
1 − e
−2x+1
2xe
−x
2
x
x−1
e
t
2
dt
x
x − 1
(1 − e
−2x+1 ) .
On déduit alors du théorème d’encadrement que lim
x→+∞
2xe
−x
2
x
x−1
e
t
2
dt
= 1 .
3.c On a, en vertu de la relation de Chasles,
2x f (x) = 2xe
−x
2
x−1
0
e
t
2
dt + 2xe
−x
2
x
x−1
e
t
2
dt , d’où
lim
x→+∞
2x f (x) = 1,
et puisque f
(x) = −2x f (x) + 1 on a également lim
x→+∞
f
(x) = 0.
3.d Le résultat précédent montre qu’au voisinage de l’infini f (x) ∼
1
2x
.
L’exercice suivant est un grand classique. En voici une version complète et détaillée
qui vous aidera à bien comprendre les méthodes mises en jeu.
Exercice 3.14
Air PC 2005, CCP PSI 2005, Mines-Ponts PC 2005 et 2006,
Polytechnique-PC 2007
Pour x ∈ D = ] 0, 1 [ ∪ ] 1, ∞ [ , on pose w(x) =
x
2
x
dt
ln t
.
1) Montrer que w est bien définie sur D.
2) Montrer que w est dérivable sur D et calculer w
.
3) Montrer que w est prolongeable par continuité aux points 0 et 1.
Indication de la rédaction : on pourra remarquer que pour tout x ∈ D,
x
2
x
dt
t ln t
= ln 2.
4) En notant f le prolongement de w sur [ 0, +∞ [ , montrer que f est de classe
C
1 sur [ 0, +∞ [ .
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