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Chap. 3. Intégration sur un segment
Puisque f est k−lipschitzienne sur R, on a alors
1
0
f (x)w(nx) dx
n−1
p=0
1
2n
0
k
2n
du =
n−1
p=0
k
(2n) 2 =
k
4n
.
Il résulte alors du théorème d’encadrement que lim
n→+∞
1
0
f (x)w(nx) dx = 0 .
Exercice 3.13
CCP PC 2006
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = e
−x
2
x
0
e
t
2
dt .
1) Vérifier que f est impaire.
2) Montrer que f est dérivable sur R et que, pour tout x ∈ R, l’on a
f
(x) + 2x f (x) = 1 .
3) Détermination d’un équivalent de f (x) au voisinage de +∞.
3.a En utilisant la croissance de t → e
t
2
, déterminer lim
x→+∞
2xe
−x
2
x−1
0
e
t
2
dt
.
3.b En écrivant e
t
2
sous la forme 2te
t
2 1
2t
, déterminer lim
x→+∞
2xe
−x
2
x
x−1
e
t
2
dt
.
3.c En déduire, si elles existent, lim
x→+∞
2x f (x) et lim
x→+∞
f
(x), .
3.d Donner un équivalent de f en +∞.
1) Montrons que f est impaire. Soit x ∈ R. Par définition f (−x) = e
−x
2
−x
0
e
t
2
dt .
En effectuant le changement de variable t = −y, on a
−x
0
e
t
2
dt =
y
0
e
y
2
(−dy) = −
y
0
e
y
2
dy . Ainsi f (−x) = − f (x). Donc f est
impaire sur R.
2) Comme t → e
t
2
est continue sur R, la fonction g : x →
x
0
e
t
2
dt est dérivable
sur R, et l’on a, pour tout x réel, g
(x) = e
x
2
. Il en résulte que f est dérivable sur
R comme produit de deux fonctions dérivables sur R et que, pour tout x réel on a
f
(x) = −2xe
−x
2
x
0
e
t
2
dt + e
−x
2
e
x
2
= −2x f (x) + 1 .
3.a Soit x > 1. Si t ∈ [ 0, x − 1 ] , on a alors, en vertu de la croissance de t → e
t
2
l’encadrement 1 e
t
2 e
(x−1)
2
, et donc en intégrant
2x(x − 1)e
−x
2 2xe
−x
2
x−1
0
e
t
2
dt 2x(x − 1)e
−x
2
e
(x−1)
2
,