3.2 Exercices d’entraînement 49
3) Il résulte de ce qui précède que, pour tout n ∈ N
∗ et tout p ∈ {0, · · · , n}, on a
w(nx) = 1 sur [
p
n
,
p
n
+
1
2n
[ et w(nx) = −1 sur [
p
n
+
1
2n
,
p + 1
n
[ . Ainsi
p+1
n
p
n
f (x)w(nx) dx =
p
n +
1
2n
p
n
f (x)w(nx) dx +
p+1
n
p
n +
1
2n
f (x)w(nx) dx
=
p
n +
1
2n
p
n
f (x) dx −
p+1
n
p
n +
1
2n
f (x) dx .
En effectuant les changements de variable x = u +
p
n
et x = u +
p
n
+
1
2n
dans les
deux dernières intégrales respectivement, on obtient
p+1
n
p
n
f (x)w(nx) dx =
1
2n
0
f
u +
p
n
du −
1
2n
0
f
u +
p
n
+
1
2n
du
=
1
2n
0
f
u +
p
n
− f
u +
p
n
+
1
2n
du .
4) On suppose que f est k−lipschitzienne, où k > 0.
Rappelons que f est k−lipschitzienne sur R lorsque pour tout (x, y) ∈ R
2 ,
| f (x) − f (y)| k|x − y|.
4.a Montrons que f est continue en tout point de R.
Soit x 0 ∈ R, montrons que f est continue en x 0 , c’est-à-dire
∀´ > 0, ∃h > 0 tel que |x − x 0 | < h ⇒ | f (x) − f (x 0 )| < ´.
Soit ´ > 0. Choisissons h = ´/k, si |x − x 0 | < h alors | f (x) − f (x 0 )| < ´ puisque
f est k−lipschitzienne sur R.
On vient de montrer que toute fonction lipchitzienne sur R est continue sur R.
Remarque
La réciproque est fausse. Examinez par exemple le cas de la fonction x → x
2 .
Pour d’autres contre-exemples, voir notre livre d’Analyse de Première Année chapitre 11 paragraphe 5.
4.b Soit n ∈ N
∗ , on a d’après la relation de Chasles
1
0
f (x)w(nx) dx =
n−1
p=0
p+1
n
p
n
f (x)w(nx) dx
=
n−1
p=0
1
2n
0
f
u +
p
n
− f
u +
p
n
+
1
2n
du .
D’où
1
0
f (x)w(nx) dx
n−1
p=0
1
2n
0
f
u +
p
n
− f
u +
p
n
+
1
2n
du
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