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Chap. 3. Intégration sur un segment
Or
p
k=1
1
p
ln
1 +
k
p
est une somme de Riemann et par conséquent
lim
p→+∞
p
k=1
1
p
ln
1 +
k
p
=
1
0
ln(1 + x) dx =
(1 + x) ln(1 + x) − x
1
0
= 2 ln 2 − 1.
On obtient alors, en vertu de la continuité de la fonction exponentielle,
lim
p→+∞
lim
n→+∞
u n, p = e
2 ln 2−1 =
4
e
.
Exercice 3.12
CCP PC 2007
Dans cet exercice, E(x) désigne la partie entière de x ∈ R.
1) Montrer que pour x ∈ R, E(x + 1) = E(x) + 1.
2) Vérifier que w : x → 4E(x) − 2E(2x) + 1 est périodique et écrire plus simplement w sur une période.
3) Soit f : R → C continue et n ∈ N
∗ , montrer que ∀ p ∈ {0, . . . , n − 1}
p+1
n
p
n
f (x)w(nx) dx =
1
2n
0
f
u +
p
n
− f
u +
p
n
+
1
2n
du .
4) Soit f : R → C k−lipschitzienne.
4.a Montrer que f est continue sur R.
4.b Déduire des questions précédentes que lim
n→+∞
1
0
f (x)w(nx) dx = 0 .
1) Pour tout x réel, on a E(x) x < E(x) + 1 et donc E(x) + 1 x + 1 < E(x) + 2.
Ceci montre que E(x) + 1 est la partie entière de x + 1, donc E(x + 1) = E(x) + 1.
Alors une récurrence immédiate montre, que pour tout entier naturel n, et tout x réel,
on a E(x + n) = E(x) + n .
2) • Pour tout x réel, on a
w(x + 1) = 4E(x + 1) − 2E(2x + 2) + 1 = 4(E(x) + 1) − 2(E(2x) + 2) + 1
= 4E(x) − 2E(2x) + 1 = w(x).
La fonction w est donc 1−périodique.
• Soit p un entier naturel.
Lorsque x ∈ [ p, p + 1/2 [ , on a 2x ∈ [ 2 p, 2 p + 1 [ , donc E(2x) = 2 p et
E(x) = p, d’où w(x) = 1.
Lorsque x ∈ [ p + 1/2, p + 1 [ , on a 2x ∈ [ 2 p + 1, 2 p + 2 [ , donc E(2x) = 2 p + 1
et E(x) = p, d’où w(x) = −1.