3.2 Exercices d’entraînement 47
1) Un calcul classique montre que, pour tout x réel, on a
(1) lim
n→+∞
1 +
x
n
+ o
1
n
n
= e
x .
Si x = 1, on en déduit que lim
n→+∞
n + 1
n
n
= e et donc lim
n→+∞
n
n + 1
n
= 1/e.
2) Soit n ∈ N
∗ fixé et soit f n la fonction définie sur [ 0, 1 ] par f n (x) = (1 + x)
1/n .
Pour tout p ∈ N
∗ , v n, p =
1
p
p
k=1
f n
k
p
est une somme de Riemann et on a, en
vertu de la continuité de f n ,
lim
p→+∞
v n, p =
1
0
f n (x) dx =
(1 + x)
1+1/n
1 +
1
n
1
0
=
n
n + 1
(2
1+1/n
− 1) .
3) On a u n, p = (v n, p )
n . Donc par continuité des fonctions puissances, on a
lim
p→+∞
u n, p =
lim
p→+∞
u v, p
n
=
n
n + 1
(2 × 2
1/n
− 1)
n
. On a alors, en utilisant
le développement limité en 0 de la fonction exponentielle,
(2
1+1/n
− 1)
n =
2e
ln 2/n
− 1
n
=
2
1 +
ln 2
n
+ o
1
n
− 1
n
=
1 +
2 ln 2
n
+ o
1
n
n
.
Alors en utilisant la formule (1) avec x = 2 ln 2, on obtient
lim
n→+∞
(2
1+1/n
− 1)
n = e
2 ln 2 = 4 .
Finalement en utilisant 1), on a lim
n→+∞
lim
p→+∞
u n, p =
4
e
.
4) Fixons p ∈ N
∗ et posons w n, p =
p
k=1
1 +
k
p
n
=
p
k=1
exp
1
n
ln
1 +
k
p
.
En utilisant le développement limité de l’exponentielle en 0, on obtient
w n, p =
p
k=1
1 +
1
n
ln
1 +
k
p
+ o
1
n
= p +
1
n
p
k=1
ln
1 +
k
p
+ o
1
n
,
d’où
u n, p =
1
p n (w n, p )
n =
1 +
1
n
p
k=1
1
p
ln
1 +
k
p
+ ◦
1
n
n
.
De nouveau, le résultat rappelé en 1) appliqué avec x =
p
k=1
1
p
ln
1 +
k
p
donne
lim
n→+∞
u n, p = exp
p
k=1
1
p
ln
1 +
k
p
.
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