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Chap. 3. Intégration sur un segment
L’application c est donc positive sur R
+ d’où
a
0
f (t) dt +
b
0
f
−1 (t) dt ab .
Le calcul précédent montre que
a
0
f (t) dt +
b
0
f
−1 (t) dt = ab si et seulement si
b = f (a).
Exercice 3.10
TPE PSI 2006 et 2007, INT PSI 2006
A l’aide des sommes de Riemann, calculer lim
n→∞
(2n)!
n!n n
1/n
.
Soit n ∈ N
∗ . On a u n =
n!
2n
k=n+1 k
n!n n
1
n
=
2n
k=n+1
k
n
1
n
donc
ln u n =
1
n
2n
k=n+1
ln
k
n
=
1
n
n
k=1
ln
1 +
k
n
.
Or
1
n
n
k=1
ln
1 +
k
n
est une somme de Riemann associée à la fonction x → ln(1+x)
sur [ 0, 1 ] . Il en résulte que lim
n→+∞
ln u n =
1
0
ln(1 + x)dx = 2 ln 2 − 1 et en vertu
de la continuité de la fonction exponentielle on en déduit lim
n→+∞
u n =
4
e
.
Exercice 3.11
CCP PC 2007
Pour (n, p) ∈ (N
∗ )
2 , on pose u n, p =
1
p n
p
k=1
1 +
k
p
1/n
n
.
1) Montrer que lim
n→+∞
n
n + 1
n
=
1
e
.
2) On fixe n dans N
∗ .
Montrer que lim
p→+∞
1
p
p
k=1
1 +
k
p
1/n
=
n
n + 1
(2 × 2
1/n
− 1) .
3) Montrer que lim
n→+∞
lim
p→+∞
u n, p
=
4
e
.
4) Déterminer lim
p→+∞
lim
n→+∞
u n, p
.