3.2 Exercices d’entraînement 45
Exercice 3.9
Mines-Ponts PC 2007, Mines-Ponts MP 2005 K
Soit f : [ 0, +∞ [ → R continue, strictement croissante et telle que f (0) = 0 et
lim
x→+∞
f (x) = +∞.
1) On suppose que f est dérivable sur [ 0, +∞ [ . Montrer que pour tout
x ∈ [ 0, +∞ [
x
0
f (t) dt +
f (x)
0
f
−1 (y) dy = x f (x) .
(∗)
Indication de la rédaction :
utiliser la fonction f : x →
x
0
f (t) dt +
f (x)
0
f
−1 (y) dy − x f (x).
2) En déduire que pour tout (a, b) ∈ [ 0, +∞ [ × f ( [ 0, +∞ [ ), on a
a
0
f (t) dt +
b
0
f
−1 (t) dt ab .
(∗∗)
Etudier les cas d’égalité.
1) Pour x ∈ R
+ , posons G(x) =
f (x)
0
f
−1 (t) dt.
La fonction f est continue et strictement croissante, donc f
−1 est continue sur
f (R
+ ), donc y →
y
0
f
−1 (t) dt est dérivable, et comme f est également dérivable,
on en déduit que G est dérivable et que G
(x) = f
(x) f
−1 ( f (x)) = x f
(x). Il en
résulte que f est dérivable sur R
+ , et que
f
(x) = f (x) + f
(x) f
−1 ( f (x)) − f (x) − x f
(x) = 0.
Par conséquent, f est constante. Or f(0) = 0, la fonction f est donc la fonction
nulle et (∗) est démontrée.
2) Soit b un réel positif fixé, considérons la fonction c, qui à tout a ∈ [ 0, +∞ [ ,
associe c(a) =
a
0
f (t) dt +
b
0
f
−1 (y) dy − ab .
Pour établir l’inégalité (∗∗), on va montrer que c 0.
La fonction c est dérivable sur [ 0, +∞ [ et l’on a pour tout a ∈ [ 0, +∞ [ ,
c
(a) = f (a) − b. Comme f est strictement croissante, c
(a) 0 si et seulement si
a f
−1 (b), donc la fonction c admet un minimum au point f
−1 (b). Par ailleurs,
c
f
−1 (b)
= f( f
−1 (b)) = 0.
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