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Chap. 3. Intégration sur un segment
3.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 3.8
CCP MP 2005, CCP PC 2005, Centrale MP 2007
On cherche toutes les fonctions f : R → R continues vérifiant
∀x ∈ R, f (x) +
x
0
(x − t) f (t) dt = 1 + x.
(1)
1) Soit f une solution de (1).
1.a Montrer que f est de classe C
2 sur R.
1.b Montrer que f est solution d’une équation différentielle linéaire du second
ordre qu’on déterminera.
1.c Déterminer f .
2) Conclure.
1) Soit f une solution de (1).
1.a La relation (1) s’écrit ∀x ∈ R, f (x) = 1 + x − x
x
0
f (t) dt +
x
0
t f (t) dt.
Comme f est continue, les intégrales du membre de droite sont de classe C
1 sur R
en tant que fonction de leur borne supérieure. Il en résulte que f est de classe C
1 sur
R. Les intégrales du membre de droite sont alors de classe C
2 sur R, donc f est de
classe C
2 sur R.
1.b En dérivant deux fois de suite, on obtient pour tout x réel
f
(x) = 1 −
x
0
f (t) dt − x f (x) + x f (x) = 1 −
x
0
f (t) dt ;
(2)
f
(x) = − f (x) .
(3)
1.c Les solutions de l’équation différentielle (3) sont les fonctions de la forme
f : x → A cos x + B sin x , où A et B sont des constantes. Mais la relation (1) donne
f (0) = 1 et la relation (2) donne f
(0) = 1. On en déduit alors A = B = 1 et donc,
pour tout x réel f (x) = cos x + sin x .
On vient de montrer que si f est solution de (1), alors f : x → sin x + cos x.
2) Il reste à vérifier que cette solution convient. Soit x ∈ R. En intégrant par parties,
on a
x
0
(x − t)(cos t + sin t) dt =
(x − t)(sin t − cos t)
x
0
+
x
0
(sin t − cos t) dt
= x − cos x − sin x + 1 = − f (x) + x + 1 .
Conclusion : la fonction f : x → sin x + cos x est l’unique solution de (1).