3.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 43
3) Effectuons le changement de variable x = sin
2 t. En effet, l’application
w : t → sin
2 t est une bijection de [ 0, p/2 ] sur [ 0, 1 ] , de classe C
1 et l’on
a dx = 2 sin t cos t dt. On obtient alors
2
p/2
0
sin
2 p+1 t cos
2q+1 t dt =
1
0
x
p (1 − x)
q dx =
p!q!
( p + q + 1)!
.
3.1.4 Sommes de Riemann
Ce qu’il faut savoir
Soit (a, b) ∈ R
2 tel que a < b. Si f : [ a, b ] → C est continue, alors :
lim
n→+∞
b − a
n
n−1
k=0
f
a+k
b − a
n
= lim
n→+∞
b − a
n
n
k=1
f
a+k
b − a
n
=
b
a
f (t) dt.
Les sommes
b − a
n
n−1
k=0
f
a + k
b − a
n
et
b − a
n
n
k=1
f
a + k
b − a
n
sont appelées
sommes de Riemann associées à f .
Exercice 3.7
Navale MP 2005, CCP PC 2007
Soit a > 0. A l’aide des sommes de Riemann, déterminer un équivalent de
n
k=1
k
a
lorsque n → +∞.
Soit n ∈ N
∗ . Nous avons
n
k=1
k
a = n
a
n
k=1
k
n
a
= n
a+1
·
1
n
n
k=1
k
n
a
.
Comme la fonction x → x
a est continue sur [ 0, 1 ] , on a alors
lim
n→+∞
1
n
n
k=1
k
n
a
=
1
0
x
a dx =
1
a + 1
.
D’où
n
k=1
k
a
∼
n→+∞
n
a+1
1
0
x
a dx =
n
a+1
a + 1
.
Remarque
Ce résultat est à retenir. On l’utilise fréquemment.
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