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Chap. 3. Intégration sur un segment
Remarque
Sur cette formule observons que, pour calculer
b
a
f (x)dx par le changement
de variable x = w(t), on procède à trois modifications :
(i) remplacer x par w(t) dans f (x) ;
(ii) remplacer dx par w
(t)dt ;
(iii)remplacer les bornes a et b d’intégration en x par des bornes a et b d’intégration en t : telles que a = w(a) et b = w(b).
Exercice 3.6
CCP MP 2007, Première question Mines-Ponts et Centrale MP 2006
Soit ( p, q) ∈ N × N, on pose I ( p, q) =
1
0
x
p (1 − x)
q dx.
1) Montrer que si p ∈ N
∗ , alors I ( p, q) =
p
1 + q
I ( p − 1, q + 1).
2) En déduire que I ( p, q) =
p!q!
( p + q + 1)!
.
3) Question de la rédaction : déduire de ce qui précède la valeur de
B( p, q) = 2
p/2
0
sin
2 p+1 t cos
2q+1 t dt.
1) Soit p ∈ N
∗ . Effectuons une intégration par parties en posant u(x) = x
p et
v
(x) = (1 − x)
q , on a alors u
(x) = px
p−1 et v(x) = −
1
1 + q
(1 − x)
q+1 d’où
I ( p, q) =
1
0
x
p (1 − x)
q dx
=
−
1
1 + q
(1 − x)
q+1
·x
p
1
0
+
1
1 + q
1
0
px
p−1
·(1 − x)
q+1 dx
=
p
1 + q
I ( p − 1, q + 1).
2) En répétant l’intégration par parties p − 1 fois, on obtient
I ( p, q) =
p
q + 1
p − 1
q + 2
· · ·
1
q + p
I (0, q + p) =
p!q!
( p + q)!
I (0, q + p).
Or, I (0, q + p) =
1
0
(1 − x)
q+ p dx =
1
p + q + 1
, d’où I ( p, q) =
p!q!
( p + q + 1)!
.