3.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 41
Si on exhibe une fonction h 0 ∈ F telle que F(h 0 ) = (b − a)
2 , on aura alors
montré que (b − a)
2 est la borne inférieure de F et qu’elle est atteinte. On prend
par exemple la fonction définie pour tout x ∈ [ a, b ] par h 0 (x) = 1. On a donc
F(E) ⊂ [ (b − a)
2 , +∞ [ .
2) Soit n ∈ N
∗ . On a
F(h n ) =
b
a
e
nx dx
b
a
e
−nx dx
=
1
n
e
nx
b
a
×
1
−n
e
−nx
b
a
=
e
nb
− e
na
n
×
e
−na
− e
−nb
n
=
(e
n(b−a)
− 1)(1 − e
−n(b−a) )
n 2
∼
n→+∞
e
n(b−a)
n 2 .
On déduit du théorème de comparaison des puissances et des exponentielles que
lim
n→+∞
F(h n ) = +∞. Il en résulte que F n’est pas majorée.
3) Plus généralement, pour tout l 0, considérons la fonction h l définie sur
[ a, b ] par h l (x) = e
lx . Pour l > 0, un calcul identique à celui de la question 2, donne, F(h l ) =
(e
l(b−a)
− 1)(1 − e
−l(b−a) )
l 2
et ceci peut encore s’écrire
F(h l ) = 4
sh
2 l(b−a)
2
l 2
. La fonction f : l → F(h l ) est alors une fonction continue sur ] 0, +∞ [ . Comme au voisinage de 0, on a sh u ∼ u, on en déduit que
lim
l→0
f (l) = (b − a)
2 = f (0), et la fonction f est continue sur [ 0, +∞ [ . Par
ailleurs, d’après la question 2, la fonction f n’est pas bornée supérieurement. Alors
F(E) ⊃ f ( [ 0, +∞ [ ) ⊃ [ (b − a)
2 , +∞ [ . Comme on a l’inclusion inverse, on
obtient finalement F(E) = [ (b − a)
2 , +∞ [ .
3.1.3 Intégration par parties et changement de variable
Ce qu’il faut savoir
• Formule d’intégration par parties
Soient u et v deux fonctions de classe C
1 sur [ a, b ] à valeurs dans R ou C, alors
b
a
u(x)v
(x) dx =
u(x)v(x)
b
a
−
b
a
u
(x)v(x) dx.
• Formule du changement de variable
Soient I et J deux intervalles de R. Soient f : I → C continue et w : J → I de
classe C
1 . Soient a et b appartenant à J . Alors
w(b)
w(a)
f (x)dx =
b
a
f (w(t))w
(t)dt.
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