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Chap. 3. Intégration sur un segment
2) Lorsque f appartient à C
0 ( [ a, b ] , C), il existe u ∈ ] −p, p ] tel que
b
a
f (t) dt = e
iu
b
a
f (t) dt
(1)
Posons g = e
−iu f . En intégrant sur [ a, b ] , on obtient
b
a
g(t) dt = e
−iu
b
a
f (t) dt =
b
a
f (t) dt
.
Par ailleurs
b
a
|g(t)| dt =
b
a
|e
−iu f (t)| dt =
b
a
| f (t)| dt . Si f vérifie (∗), alors
on a
b
a
|g(t)| dt =
b
a
g(t) dt
(2)
En prenant la partie réelle des deux termes de (2), on obtient
b
a
|g(t)| dt =
b
a
Re(g(t)) dt , d’où
b
a
|g(t)| − Re g(t)
dt = 0 .
Mais la fonction |g| − Re g est continue, positive (car |g|
2 = (Re g)
2 + (Im g)
2 ) et
son intégrale est nulle, elle est donc identiquement nulle sur [a, b]. Il en résulte que
|g| = Re g, donc Im g = 0. Par conséquent, g est réelle, et finalement |g| = g. La
fonction g est donc dans C
0 ( [ a, b ] , R
+ ), et l’on a bien f = e
iu g . Autrement dit
l’argument de f est constant.
Remarque
La réciproque est vraie dans les deux cas précédents.
Exercice 3.5
Centrale MP 2007, CCP PC 2007
Soit (a, b) ∈ R
2 tel que a < b. Pour tout h ∈ E = C
0 ( [ a, b ] , ] 0, +∞ [ ) on
pose F(h) =
b
a
h(t) dt
×
b
a
1
h(t)
dt
.
1) Montrer que F est minorée sur E et atteint sa borne inférieure.
2) Pour n ∈ N
∗ , on considère la fonction h n définie sur [ a, b ] par h n (x) = e
nx .
Calculer lim
n→+∞
F(h n ) et en déduire que F n’est pas majorée.
3) Déterminer F(E).
1) Montrons que F est minorée et atteint sa borne inférieure.
Soit h ∈ E. En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz avec f =
√
h et
g = 1/
√
h, on obtient
b
a
dx
2
b
a
h(t) dt
×
b
a
1
h(t)
dt
c’està-dire (b − a)
2
F(h). Ainsi F est minorée.