3.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 39
Exercice 3.3
CCP MP 2005
Soit f ∈ C
0 ( [ 0, 1 ] , R). On note M (resp. m) le maximum (resp. le minimum)
de f sur [ 0, 1 ] .
Montrer que si
1
0
f (t) dt = 0, alors
1
0
( f (t))
2 dt −m M .
Les fonctions f − m et M − f sont positives, donc
1
0
( f (t) − m)(M − f (t)) dt 0 .
En développant, on obtient
1
0
( f (t) − m)(M − f (t)) dt = (m + M)
1
0
f (t) dt −
1
0
( f (t))
2 dt − m M
= −
1
0
( f (t))
2 dt − m M 0 ,
d’où
1
0
( f (t))
2 dt −m M .
Exercice 3.4
TPE PC 2007, CCP MP 2006
Soit (a, b) ∈ R
2 tel que a < b et soit f ∈ C
0 ( [ a, b ] , C) vérifiant
b
a
f (t) dt
=
b
a
| f (t)| dt .
(∗)
1) Montrer que si f est à valeurs réelles, alors f = | f | ou f = −| f |.
2) Montrer que si f est à valeurs complexes, alors il existe u ∈ R et
g ∈ C
0 ( [ a, b ] , R
+ ) tels que f = e
iu g.
Indication de la rédaction : montrer que g = e
−iu f où u est un argument de
b
a
f (t) dt.
1) Lorsque f est à valeurs réelles, on a f = f
+
− f
− et | f | = f
+ + f
− ,
où f
+ (x) = sup( f (x), 0) et f
− (x) = sup(− f (x), 0) . En outre, f
+ et f
− sont
continues positives sur [ a, b ] puisque f l’est. Posons A =
b
a
f
+ (t) dt et
B =
b
a
f
− (t) dt . L’égalité (∗) s’écrit alors |A − B| = A + B, ce qui équivaut à
((A − B = A + B) ou (−A + B = A + B)) et finalement à ((B = 0) ou (A = 0)).
Comme f
− est continue et positive sur [ a, b ] , dire que l’intégrale B est nulle,
implique que la fonction f
− est la fonction nulle, et donc que f est positive, ce qui
donne | f | = f . De même, A = 0 équivaut à f
+ = 0, c’est-à-dire | f | = − f .
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