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Chap. 3. Intégration sur un segment
Remarque 1
Ces intégrales peuvent se calculer à l’aide du changement de variable u = Arccos
√
t
suivi d’une intégration par parties.
Remarque 2
Les formules suivantes :
∀x ∈ [ −1, 1 ] , Arccos x + Arcsin x =
p
2
∀x ∈ R
∗ , Arctan x + Arctan(1/x) =
p
2
sign x
ont été démontrées dans le livre d’Analyse de première année exercice 6.6 page 90.
Il est très utile de les retenir.
3.1.2 Inégalités et intégrales
Ce qu’il faut savoir
Soit (a, b) ∈ R
2 tel que a b. Soient f et g deux fonctions continues sur [ a, b ]
à valeurs dans C.
•
b
a
f (t) dt
b
a
| f (t)| dt .
Voir exercice 3.4 pour étudier le cas d’égalité.
• Si f et g sont à valeurs dans R et si g f sur [ a, b ] , alors
b
a
g(t) dt
b
a
f (t) dt ;
en particulier si f 0 sur [ a, b ] , alors
b
a
f (t) dt 0 .
Remarque très utile dans la pratique
Si f est positive et continue sur [ a, b ] et si
b
a
f (t) dt = 0 , alors f = 0 sur
[ a, b ] .
• Inégalité de Cauchy-Schwarz
b
a
f (t)g(t) dt
b
a
| f (t)|
2 dt
1/2
×
b
a
|g(t)|
2 dt
1/2
.
Le cas d’égalité se produit si et seulement si f et g sont proportionnelles.