3.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 37
Exercice 3.2
ENSEA MP 2005, CCP PSI 2006
Soit la fonction F définie par la relation
F(x) =
sin
2 x
0
Arcsin
√
t dt +
cos
2 x
0
Arccos
√
t dt.
1) Montrer que F est bien définie sur R, paire et p-périodique.
2) Etablir que F est constante.
3) En déduire la valeur des intégrales
1
0
Arccos
√
t dt et
1
0
Arcsin
√
t dt.
1) • Les fonctions g : x → Arcsin
√
x et h : x → Arccos
√
x sont continues sur
[ 0, 1 ] . On note G et H leurs primitives respectives qui s’annnulent en 0. Comme
les fonctions u : x → sin
2 x et v : x → cos
2 x sont à valeurs dans [ 0, 1 ] , les
fonctions G ◦ u et H ◦ v sont bien définies sur R, donc F est bien définie.
• Comme les fonctions u et v sont paires et p-périodiques, F l’est aussi.
2) Puisque F est paire et p-périodique,il suffit de l’étudier sur le segment [ 0, p/2 ] .
En outre F est dérivable en tant que somme et composée de fonctions dérivables et
l’on a pour tout x ∈ [ 0, p/2 ]
F
(x) = G
(u(x))u
(x) + H
(v(x))v
(x)
= Arcsin
sin
2 x 2 sin x cos x − Arccos
√
cos 2 x 2 sin x cos x.
Or, pour tout x ∈ [ 0, p/2 ] , on a
sin
2 x = sin x car sin x 0 et donc
Arcsin(
sin
2 x) = Arcsin(sin x) = x . De même Arccos(
√
cos 2 x) = x, donc
∀x ∈ [ 0, p/2 ] , F
(x) = 0.
On en déduit que F est constante sur [ 0, p/2 ] , puis sur [ −p/2, p/2 ] par parité,
et enfin sur R par périodicité.
3) On remarque que les deux intégrales à calculer sont F(0) et F(p/2).
On va calculer la valeur de F en p/4.
F(p/4) =
1/2
0
Arccos
√
t dt +
1/2
0
Arcsin
√
t dt
=
1/2
0
(Arccos
√
t + Arcsin
√
t) dt
Mais, pour tout x ∈ [ −1, 1 ] , on a Arccos x + Arcsin x = p/2 d’où
F(p/4) =
1/2
0
p/2 dt = p/4 .
Finalement,
1
0
Arcsin
√
t dt =
1
0
Arccos
√
t dt = p/4.
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