3 Intégration sur un segment
3.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
3.1.1 Intégrale fonction de sa borne supérieure
Ce qu’il faut savoir
Soit I un intervalle contenant au moins deux points. Soit f une fonction continue
sur I à valeurs dans C.
• Soit x 0 ∈ I . La fonction définie sur I par F(x) =
x
x 0
f (t) dt est l’unique
primitive de f sur I qui s’annule en x 0 .
• Soient J un intervalle contenant au moins deux points, u et v deux fonctions
dérivables sur J à valeurs dans I . Alors la fonction G : x →
v(x)
u(x)
f (t) dt est
dérivable sur J et, pour tout x ∈ J , on a G
(x) = v
(x) f (v(x)) − u
(x) f (u(x)) .
Exercice 3.1
CCP MP 2006
Soit f ∈ C
0 ( [ 0, 1 ] , R) telle que
1
0
f (t) dt = 1/2. Montrer qu’il existe
x 0 ∈ ] 0, 1 [ tel que f (x 0 ) = x 0 .
Indication de la rédaction : considérer une primitive de x → f (x) − x.
On considère la fonction w définie sur [ 0, 1 ] par w(x) =
x
0
f (t) dt −
x
2
2
.
Puisque f est continue sur [ 0, 1 ] , la fonction x →
x
0
f (t) dt est dérivable
sur [ 0, 1 ] , donc w est dérivable sur [ 0, 1 ] et w
(x) = f (x) − x. En outre,
w(0) = w(1) = 0 . Le théorème de Rolle entraîne alors l’existence d’un réel
x 0 ∈ ] 0, 1 [ tel que w
(x 0 ) = 0, c’est-à-dire f (x 0 ) − x 0 = 0 .