2.2 Exercices d’approfondissement 35
– Pour montrer que f est identiquement nulle sur ] −∞, a ] , on considère la primitive H de | f
| sur ] −∞, a ] qui s’annule au point a et on procède de la même
façon.
• Supposons maintenant que f ne s’annule en aucun point. On peut considérer la
fonction g = ln | f |. Elle est dérivable sur R et g
= f
/ f . Pour tout x ∈ R, on a alors
ln | f (x)| − ln | f (0)| =
x
0
f
(t)
f (t)
dt
x
0
f
(t)
f (t)
dt |x| d’où | f (x)| | f (0)|e
|x| .
Exercice 2.19
Polytechnique-ESPCI PC 2006 KK
Calculer
inf
a∈ ] 0, p/2 [
sup
p∈Z
sin( pa)
.
Remarquons tout d’abord que lorsque a = p/3, le nombre sin( pa) ne peut prendre
que trois valeurs distinctes, ±
√
3/2 et 0. Donc dans ce cas sup
p∈Z
sin( pa) =
√
3/2 .
Nous allons montrer que pour tout a ∈ ] 0, p/2 [ , on a sup
p∈Z
sin( pa)
√
3/2 .
Distinguons deux cas :
• a ∈ [ p/3, p/2 ]
La fonction sinus étant croissante sur cet intervalle, on a
sup
p∈Z
sin( pa) sin a sin p/3 =
√
3/2 .
• a ∈ ] 0, p/3 ] Soit p le plus petit entier naturel tel que pa p/3. On a
donc ( p − 1)a < p/3 d’où pa a + p/3 2p/3 . Alors, de l’encadrement
p/3 pa 2p/3 il résulte que sin( pa) sin p/3 =
√
3/2 .
Dans tous les cas, on a sup
p∈Z
sin( pa)
√
3/2 .
Alors
inf
a∈ ] 0, p/2 [
sup
p∈Z
sin( pa)
√
3/2 , et la borne inférieure est atteinte pour
a = p/3 d’où l’on déduit finalement
inf
a∈ ] 0, p/2 [
sup
p∈Z
sin( pa)
=
√
3/2 .
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