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Chap. 2. Fonctions réelles d’une variable réelle
Exercice 2.17
Mines-Ponts PC 2005
Soit n 2 et soit P ∈ R[X ] de degré n. Montrer que si P a n racines réelles
distinctes, alors Q = P
2 + 1 a 2n racines distinctes dans C.
Soient a 1 , . . . , a n les racines réelles distinctes de P avec a 1 < a 2 < . . . < a n . L’application du théorème de Rolle dans chacun des n − 1 intervalles [ a i , a i+1 ] pour
1 i n − 1, montre que P
possède n − 1 racines réelles distinctes, et comme il
est de degré n − 1 il n’a pas d’autres racines complexes.
Le polynôme Q est de degré 2n et possède donc 2n racines complexes, comptées
avec leur ordre de multiplicité. Supposons par l’absurde que Q possède une racine
multiple a. Alors P
2 (a) = −1, donc P(a) = ±i n’est pas réel, et puisque P appartient à R[X ], il en résulte que a ne peut pas être réel.
Mais a est aussi racine de Q
= 2P P
, et comme a n’est pas racine de P c’est
nécessairement une racine non réelle de P
, ce qui n’est pas possible. Il en résulte
que les racines de Q sont simples, et Q possède 2n racines complexes distinctes.
Remarque
Ce résultat est encore vrai pour tout polynôme Q = P
2 + v
2 , où v appartient à R
∗ .
Exercice 2.18
Mines-Ponts PSI 2005 K
Soit f une fonction de classe C
1 de R dans R telle que : ∀x ∈ R, | f
(x)| | f (x)| .
Montrer que : ∀x ∈ R, | f (x)| | f (0)|e
|x| .
Indication de la rédaction Montrer que s’il existe un réel a tel que f (a) = 0,
alors f est identiquement nulle.
• Supposons que f s’annule en un point a.
– Montrons que f est identiquement nulle sur [ a, +∞ [ . Soit G la primitive de | f
|
qui s’annule au point a. Soit x ∈ [ a, +∞ [ . Sachant que f (x) =
x
a
f
(t) dt, on a
| f (x)|
x
a
| f
(t)| dt = G(x). Or, | f
(x)| | f (x)| d’où G
(x) G(x).
La fonction w définie sur [ a, +∞ [ par w(x) = e
−x G(x) est dérivable et l’on a
w
(x) = e
−x (G
(x) − G(x)). Comme w
0 sur [ a, +∞ [ , w est donc décroissante
sur [ a, +∞ [ . Par ailleurs w est positive et w(a) = e
−a G(a) = 0. Il en résulte que
w = 0 sur [ a, +∞ [ et donc G = 0 sur [ a, +∞ [ d’où f
= 0 sur [ a, +∞ [ et par
conséquent f = 0 puisque f (a) = 0.
Chap. 2. Fonctions réelles d’une variable réelle
Exercice 2.17
Mines-Ponts PC 2005
Soit n 2 et soit P ∈ R[X ] de degré n. Montrer que si P a n racines réelles
distinctes, alors Q = P
2 + 1 a 2n racines distinctes dans C.
Soient a 1 , . . . , a n les racines réelles distinctes de P avec a 1 < a 2 < . . . < a n . L’application du théorème de Rolle dans chacun des n − 1 intervalles [ a i , a i+1 ] pour
1 i n − 1, montre que P
possède n − 1 racines réelles distinctes, et comme il
est de degré n − 1 il n’a pas d’autres racines complexes.
Le polynôme Q est de degré 2n et possède donc 2n racines complexes, comptées
avec leur ordre de multiplicité. Supposons par l’absurde que Q possède une racine
multiple a. Alors P
2 (a) = −1, donc P(a) = ±i n’est pas réel, et puisque P appartient à R[X ], il en résulte que a ne peut pas être réel.
Mais a est aussi racine de Q
= 2P P
, et comme a n’est pas racine de P c’est
nécessairement une racine non réelle de P
, ce qui n’est pas possible. Il en résulte
que les racines de Q sont simples, et Q possède 2n racines complexes distinctes.
Remarque
Ce résultat est encore vrai pour tout polynôme Q = P
2 + v
2 , où v appartient à R
∗ .
Exercice 2.18
Mines-Ponts PSI 2005 K
Soit f une fonction de classe C
1 de R dans R telle que : ∀x ∈ R, | f
(x)| | f (x)| .
Montrer que : ∀x ∈ R, | f (x)| | f (0)|e
|x| .
Indication de la rédaction Montrer que s’il existe un réel a tel que f (a) = 0,
alors f est identiquement nulle.
• Supposons que f s’annule en un point a.
– Montrons que f est identiquement nulle sur [ a, +∞ [ . Soit G la primitive de | f
|
qui s’annule au point a. Soit x ∈ [ a, +∞ [ . Sachant que f (x) =
x
a
f
(t) dt, on a
| f (x)|
x
a
| f
(t)| dt = G(x). Or, | f
(x)| | f (x)| d’où G
(x) G(x).
La fonction w définie sur [ a, +∞ [ par w(x) = e
−x G(x) est dérivable et l’on a
w
(x) = e
−x (G
(x) − G(x)). Comme w
0 sur [ a, +∞ [ , w est donc décroissante
sur [ a, +∞ [ . Par ailleurs w est positive et w(a) = e
−a G(a) = 0. Il en résulte que
w = 0 sur [ a, +∞ [ et donc G = 0 sur [ a, +∞ [ d’où f
= 0 sur [ a, +∞ [ et par
conséquent f = 0 puisque f (a) = 0.