2.2 Exercices d’approfondissement 31
• Sur ] −∞, 1/4 [ \{0} , on a successivement f
(t) =
6t − 1 + (1 − 4t)
3/2
t 2 (1 − 4t) 3/2
, puis
f
(t) = 2
30t
2
− 10t + 1 − (1 − 4t)
5/2
t 3 (1 − 4t) 5/2
.
Pour étudier le signe de f
, posons u =
√
1 − 4t, c’est-à-dire t = (1 − u
2 )/4, avec
u 0. On obtient alors
30t
2
− 10t + 1 − (1 − 4t)
5/2 = −u
5 +
15u
4
8
−
5u
2
4
+
3
8
=
(8u
2 + 9u + 3)(1 − u)
3
8
,
donc f
(t) = 16
(8u
2 + 9u + 3)(1 − u)
3
u 5 (1 − u 2 ) 3
= 16
(8u
2 + 9u + 3)
u 5 (1 + u) 3 . Alors f
est positive et la fonction f est convexe. Il en résulte que f
est croissante, Et puisque
lim
x→−∞
f
(x) = 0 , on en déduit que f
est positive. Donc f est croissante.
Remarque
On pourrait étudier directement le signe de f
en utilisant encore le changement
de variable u =
√
1 − 4t.
• On complète l’étude de la fonction f avec lim
x→−∞
f (x) = 0, donc l’axe Ox est
asymptote horizontale de la courbe représentative de f , et lim
x→1/4
f (x) = +∞ donc
la droite d’équation x = 1/4 est asymptote verticale.
0
1
2
3
4
–4
–3
–2
–1
x
Exercice 2.15
Centrale PSI 2007 KK
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = sup
0tp/2
|xt − sin t|.
Exprimer f (x) à l’aide des fonctions usuelles en distinguant trois cas : d’une part
x 0, d’autre part 1 x et enfin 0 < x < 1.
Tracer le graphe de f à l’aide de Maple.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
• Sur ] −∞, 1/4 [ \{0} , on a successivement f
(t) =
6t − 1 + (1 − 4t)
3/2
t 2 (1 − 4t) 3/2
, puis
f
(t) = 2
30t
2
− 10t + 1 − (1 − 4t)
5/2
t 3 (1 − 4t) 5/2
.
Pour étudier le signe de f
, posons u =
√
1 − 4t, c’est-à-dire t = (1 − u
2 )/4, avec
u 0. On obtient alors
30t
2
− 10t + 1 − (1 − 4t)
5/2 = −u
5 +
15u
4
8
−
5u
2
4
+
3
8
=
(8u
2 + 9u + 3)(1 − u)
3
8
,
donc f
(t) = 16
(8u
2 + 9u + 3)(1 − u)
3
u 5 (1 − u 2 ) 3
= 16
(8u
2 + 9u + 3)
u 5 (1 + u) 3 . Alors f
est positive et la fonction f est convexe. Il en résulte que f
est croissante, Et puisque
lim
x→−∞
f
(x) = 0 , on en déduit que f
est positive. Donc f est croissante.
Remarque
On pourrait étudier directement le signe de f
en utilisant encore le changement
de variable u =
√
1 − 4t.
• On complète l’étude de la fonction f avec lim
x→−∞
f (x) = 0, donc l’axe Ox est
asymptote horizontale de la courbe représentative de f , et lim
x→1/4
f (x) = +∞ donc
la droite d’équation x = 1/4 est asymptote verticale.
0
1
2
3
4
–4
–3
–2
–1
x
Exercice 2.15
Centrale PSI 2007 KK
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = sup
0tp/2
|xt − sin t|.
Exprimer f (x) à l’aide des fonctions usuelles en distinguant trois cas : d’une part
x 0, d’autre part 1 x et enfin 0 < x < 1.
Tracer le graphe de f à l’aide de Maple.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit