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Chap. 2. Fonctions réelles d’une variable réelle
• Il reste à étudier le comportement de f en 0. Revenons à la fonction g. Lorsque
u tend vers 0, on a g(u) ∼
pu
2
upu
= 1 donc g se prolonge par continuité en 0 par
la valeur 1. Comme elle se prolonge aussi en 1 par la valeur 2, c’est une fonction
continue sur le segment [ 0, 1 ] et elle est bornée. Soit M la borne supérieure de |g|
sur cet intervalle. On a donc M g(1) = 2 .
Nous allons montrer que M est alors la borne supérieure de |g| sur R
+ . Soit
u ∈ ] 0, +∞ [ et soit n sa partie entière. Alors u − n appartient à [ 0, 1 ] et
|g(u − n)| M, donc
| sin(p(u − n)
2 )| M(u − n)| sin(p(u − n))| = M(u − n)| sin(pu)| .
Alors, en écrivant u
2 = (u − n)
2 + 2nu + n
2 , on obtient
sin(pu
2 ) = sin[p(u − n)
2 ] cos(2unp) + cos[p(u − n)
2 ] sin(2unp) , et donc
| sin(pu
2 )| M(u − n)| sin(pu)| + | sin(2unp)| .
Mais on démontre facilement par récurrence, que, quel que soit u réel et n ∈ N, on a
| sin(nup)| n| sin(up)| et comme M 2 on en déduit
| sin(pu
2 )| M(u − n)| sin(up)| + 2n| sin(up)| Mu| sin(pu)| .
Il en résulte que g est majorée par M sur R
+ . On en déduit que pour tout x réel
positif on a | f (x)| M x, et donc f (x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0. On peut
donc prolonger f par continuité en 0 par f (0) = 0 .
Exercice 2.14
Centrale PSI 2006 K
La première question de cet exercice utilise un résultat sur les séries entières.
Soit f : t →
1
t
√
1 − 4t
−
1
t
pour t ∈ ] −∞, 1/4 [ \{0} .
1) Montrer que f admet un prolongement en 0 qui la rend C
∞ .
2) Dresser le graphe de f . Etudier sa convexité.
1) En utilisant la série du binôme (voir chapitre « Séries entières »), la fonction
t → (1 − 4t)
−1/2 admet un développement en série entière de rayon 1/4 de la forme
(1−4t)
−1/2 = 1+2t +
∞
n=2
a n t
n . Alors si t = 0, on obtient f (t) = 2+
∞
n=2
a n t
n−1 . La
fonction f se prolonge en 0 par la valeur 2, et comme elle admet un développement
en série entière au voisinage de 0, le prolongement est une fonction C
∞ au voisinage
de 0. Comme la fonction f est C
∞ sur ] −∞, 1/4 [ \{0} , le prolongement sera C
∞
sur ] −∞, 1/4 [ .
2) Les calculs suivants peuvent se faire à la main, on peut aussi préférer utiliser un
des logiciels de calcul formel disponibles à l’oral de Centrale.
Chap. 2. Fonctions réelles d’une variable réelle
• Il reste à étudier le comportement de f en 0. Revenons à la fonction g. Lorsque
u tend vers 0, on a g(u) ∼
pu
2
upu
= 1 donc g se prolonge par continuité en 0 par
la valeur 1. Comme elle se prolonge aussi en 1 par la valeur 2, c’est une fonction
continue sur le segment [ 0, 1 ] et elle est bornée. Soit M la borne supérieure de |g|
sur cet intervalle. On a donc M g(1) = 2 .
Nous allons montrer que M est alors la borne supérieure de |g| sur R
+ . Soit
u ∈ ] 0, +∞ [ et soit n sa partie entière. Alors u − n appartient à [ 0, 1 ] et
|g(u − n)| M, donc
| sin(p(u − n)
2 )| M(u − n)| sin(p(u − n))| = M(u − n)| sin(pu)| .
Alors, en écrivant u
2 = (u − n)
2 + 2nu + n
2 , on obtient
sin(pu
2 ) = sin[p(u − n)
2 ] cos(2unp) + cos[p(u − n)
2 ] sin(2unp) , et donc
| sin(pu
2 )| M(u − n)| sin(pu)| + | sin(2unp)| .
Mais on démontre facilement par récurrence, que, quel que soit u réel et n ∈ N, on a
| sin(nup)| n| sin(up)| et comme M 2 on en déduit
| sin(pu
2 )| M(u − n)| sin(up)| + 2n| sin(up)| Mu| sin(pu)| .
Il en résulte que g est majorée par M sur R
+ . On en déduit que pour tout x réel
positif on a | f (x)| M x, et donc f (x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0. On peut
donc prolonger f par continuité en 0 par f (0) = 0 .
Exercice 2.14
Centrale PSI 2006 K
La première question de cet exercice utilise un résultat sur les séries entières.
Soit f : t →
1
t
√
1 − 4t
−
1
t
pour t ∈ ] −∞, 1/4 [ \{0} .
1) Montrer que f admet un prolongement en 0 qui la rend C
∞ .
2) Dresser le graphe de f . Etudier sa convexité.
1) En utilisant la série du binôme (voir chapitre « Séries entières »), la fonction
t → (1 − 4t)
−1/2 admet un développement en série entière de rayon 1/4 de la forme
(1−4t)
−1/2 = 1+2t +
∞
n=2
a n t
n . Alors si t = 0, on obtient f (t) = 2+
∞
n=2
a n t
n−1 . La
fonction f se prolonge en 0 par la valeur 2, et comme elle admet un développement
en série entière au voisinage de 0, le prolongement est une fonction C
∞ au voisinage
de 0. Comme la fonction f est C
∞ sur ] −∞, 1/4 [ \{0} , le prolongement sera C
∞
sur ] −∞, 1/4 [ .
2) Les calculs suivants peuvent se faire à la main, on peut aussi préférer utiliser un
des logiciels de calcul formel disponibles à l’oral de Centrale.