2.2 Exercices d’approfondissement 29
En appliquant l’identité remarquable 1 − u
n = (1 − u)(1 + u + · · · + u
n−1 ), on obtient
1 − (1 − x)
n
x
=
n−1
=0
(1 − x)
, puis, on intègre sur [ 0, 1 ]
n
k=1
n
k
(−1)
k−1
k
=
n−1
=0
1
0
(1−x)
dx =
n−1
k=0
−
(1 − x)
+1
+ 1
1
0
=
n−1
=0
1
+ 1
=
n
k=1
1
k
,
ce qui donne finalement l’égalité voulue.
3) Pour tout n ∈ N
∗ on a f
(n)
n (1/n) = n!
n
k=1
1
k
− ln n
.
Sachant que la suite
n
k=1
1
k
− ln n
converge vers la constante d’Euler g (voir par
exemple notre livre d’Analyse de première année ), on obtient
f
(n)
n (1/n) ∼
n→+∞
gn!.
Exercice 2.13
Mines-Ponts PC 2006 et 2007 KK
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f définie par la relation
f (x) = x
2 sin(p/x
2 )
sin(p/x)
Montrer que f se prolonge par continuité à R.
Indication de la rédaction On pourra introduire la fonction g définie sur R \ Z
par g(u) =
sin(pu
2 )
u sin(pu)
.
• La fonction f n’est pas définie pour x = 0, et pour toutes les valeurs annulant
sin(p/x) c’est-à-dire pour x ∈ {1/ p | p ∈ Z
∗
}.
• Etudions la fonction f en ces points.
Puisque f est impaire, il suffit de prolonger f aux points 1/n où n ∈ N
∗ .
Soit n ∈ N
∗ . En remarquant que f (x) = xg(1/x), où g est définie, sur R \ N par
g(u) =
sin(pu
2 )
u sin(pu)
, il suffit d’étudier le comportement de g(u) lorsque u tend vers
l’entier n. En posant u = n + h, on a
g(n + h) =
sin(p(n + h)
2 )
(n + h) sin(p(n + h))
=
sin(p(h
2 + 2nh))
(n + h) sin(ph)
.
On en déduit g(n + h) ∼
h→0
p2nh
nph
= 2. Il en résulte que lim
x→1/n
f (x) = 2/n.
La fonction f se prolonge par continuité au point 1/n en posant f (1/n) = 2/n .
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