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Chap. 2. Fonctions réelles d’une variable réelle
2.2 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 2.12
TPE PC 2006 K
Soit n ∈ N
∗ et soit la fonction f n définie sur ] 0, +∞ [ par f n (x) = x
n ln x .
1) En appliquant la formule de Leibniz, calculer f
(n)
n .
2) Etablir que
n
k=1
(−1)
k−1
k
n
k
=
n
k=1
1
k
.
Indication de la rédaction : on pourra écrire, ∀k ∈ N
∗ ,
1
k
=
1
0
x
k−1 dx .
3) En déduire un équivalent de f
(n)
n (1/n) lorsque n tend vers +∞.
1) Soit n ∈ N
∗ , la fonction g n : x → g n (x) = x
n est de classe C
∞ sur R et, pour
tout entier k n, on a g
(k)
n (x) = n(n − 1) . . . (n − k + 1)x
n−k =
n!
(n − k)!
x
n−k .
Pour x > 0, posons h(x) = ln x . On démontre par récurrence que pour tout k ∈ N
∗ ,
h
(k) (x) =
(−1)
k−1 (k − 1)!
x k
. En appliquant la formule de Leibniz, on aura donc
f
(n) = (g n h)
(n) =
n
k=0
n
k
h
(k) g
(n−k)
n
, d’où, en isolant le premier terme,
f
(n) (x) = n! ln x +
n
k=1
n
k
(−1)
k−1 (k − 1)!
x k
n!
k!
x
k
= n!
ln x +
n
k=1
n
k
(−1)
k−1
k
.
2) L’expérience montre que sans l’indication proposée cette question est difficile.
∀k ∈ N
∗ ,
1
k
=
1
0
x
k−1 dx .
On obtient alors
n
k=1
n
k
(−1)
k−1
k
=
1
0
n
k=1
n
k
(−1)
k−1 x
k−1
dx .
Mais, pour x > 0, on a
n
k=1
n
k
(−1)
k−1 x
k−1 =
−1
x
n
k=1
n
k
(−x)
k .
On déduit alors de la formule du binôme de Newton
−1
x
n
k=1
n
k
(−1)
k−1
k
=
−1
x
((−x + 1)
n
− 1) =
1 − (1 − x)
n
x
.