32
Chap. 2. Fonctions réelles d’une variable réelle
• Soit x un réel, exprimons f (x) de façon simple.
La fonction g x , définie sur [ 0, p/2 ] par g x (t) = xt − sin t, est dérivable sur
[ 0, p/2 ] et g
x (t) = x − cos t.
– Lorsque x 1, g
x (t) est positif, et g x croit de 0 à xp/2−1, donc f (x) = xp/2−1.
– Lorsque x 0, g
x (t) est négatif, et g x décroit de 0 à xp/2 − 1, donc
f (x) = 1 − xp/2.
– Lorsque x ∈ ] 0, 1 [ , la dérivée g
x s’annule en t = Arccos x. Elle est négative sur
[ 0, Arccos x ] et la fonction g x décroît de 0 à g x (Arccos x). Ce nombre est donc
négatif.
La dérivée g
x est positive sur [ Arccos x, p/2 ] et la fonction g x croît de
g x (Arccos x) à xp/2 − 1 .
Sachant que, pour y ∈ [ 0, p ] , on a
sin(Arccos y) =
1 − cos 2 (Arccos y) =
1 − y 2 ,
on en déduit alors que g x (Arccos x) = x Arccos x −
1 − x 2 .
Lorsque x appartient à l’intervalle ] 0, 2/p ] , on a alors
f (x) = −g x (Arccos x) =
1 − x 2 − x Arccos x .
Lorsque x appartient à l’intervalle ] 2/p, 1 [ , on a
f (x) = max(
1 − x 2 − x Arccos x,
xp
2
− 1) .
1
2
3
4
–2
–1
0
1
2
x
En étudiant sur ] 2/p, 1 [ la fonction w définie
par w : x → x
p
2
− 1 + x Arccos x −
1 − x 2
dont la dérivée w
: x →
p
2
+ Arccos x est
strictement positive, on constate que w est strictement croissante et qu’elle s’annule en une valeur
et une seule x 0 . Un logiciel de calcul formel
donne 0, 7246113538 comme valeur approchée
de x 0 et 0, 1382168528 comme valeur approchée
de f (x 0 ).
En résumé
f (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
xp
2
− 1
six ∈ [ x 0 , +∞ [
1 − x 2 − x Arccos x si x ∈ ] 0, x 0 ]
1 −
xp
2
si x ∈ ] −∞, 0 [
.
Ci-contre la courbe représentative de f .
Chap. 2. Fonctions réelles d’une variable réelle
• Soit x un réel, exprimons f (x) de façon simple.
La fonction g x , définie sur [ 0, p/2 ] par g x (t) = xt − sin t, est dérivable sur
[ 0, p/2 ] et g
x (t) = x − cos t.
– Lorsque x 1, g
x (t) est positif, et g x croit de 0 à xp/2−1, donc f (x) = xp/2−1.
– Lorsque x 0, g
x (t) est négatif, et g x décroit de 0 à xp/2 − 1, donc
f (x) = 1 − xp/2.
– Lorsque x ∈ ] 0, 1 [ , la dérivée g
x s’annule en t = Arccos x. Elle est négative sur
[ 0, Arccos x ] et la fonction g x décroît de 0 à g x (Arccos x). Ce nombre est donc
négatif.
La dérivée g
x est positive sur [ Arccos x, p/2 ] et la fonction g x croît de
g x (Arccos x) à xp/2 − 1 .
Sachant que, pour y ∈ [ 0, p ] , on a
sin(Arccos y) =
1 − cos 2 (Arccos y) =
1 − y 2 ,
on en déduit alors que g x (Arccos x) = x Arccos x −
1 − x 2 .
Lorsque x appartient à l’intervalle ] 0, 2/p ] , on a alors
f (x) = −g x (Arccos x) =
1 − x 2 − x Arccos x .
Lorsque x appartient à l’intervalle ] 2/p, 1 [ , on a
f (x) = max(
1 − x 2 − x Arccos x,
xp
2
− 1) .
1
2
3
4
–2
–1
0
1
2
x
En étudiant sur ] 2/p, 1 [ la fonction w définie
par w : x → x
p
2
− 1 + x Arccos x −
1 − x 2
dont la dérivée w
: x →
p
2
+ Arccos x est
strictement positive, on constate que w est strictement croissante et qu’elle s’annule en une valeur
et une seule x 0 . Un logiciel de calcul formel
donne 0, 7246113538 comme valeur approchée
de x 0 et 0, 1382168528 comme valeur approchée
de f (x 0 ).
En résumé
f (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
xp
2
− 1
six ∈ [ x 0 , +∞ [
1 − x 2 − x Arccos x si x ∈ ] 0, x 0 ]
1 −
xp
2
si x ∈ ] −∞, 0 [
.
Ci-contre la courbe représentative de f .